Sirena d'ambulància: Doppler, incerteses i decibels
Una estudiant de segon de batxillerat mesura el so d'una ambulància amb una aplicació del mòbil. La sirena emet una freqüència de 680 Hz, segons el fabricant. Quan l'ambulància s'apropa, l'aplicació marca 735 Hz i, quan s'allunya, 633 Hz; el programa indica un marge del ±3 % en la freqüència mesurada. La velocitat del so a l'aire aquell dia és de 340 m/s i no hi ha vent apreciable. La mateixa estudiant mesura després el nivell d'intensitat sonora de la sirena: 100 dB a 10 m de la cruïlla. Vol saber si un vigilant que passa 6 h diàries a 100 m de la cruïlla supera el límit d'exposició de 80 dB per a 8 h, i si l'aplicació del mòbil serveix per denunciar un excés de velocitat. Està previst que una segona sirena idèntica soni al mateix punt.
1. Calcula la velocitat de l'ambulància a partir de les dues freqüències mesurades i valora la coherència del resultat.
Read the worked answer
Font que s'apropa: f′ = f·v/(v − v_s) → 735 = 680·340/(340 − v_s) → 340 − v_s = 680·340/735 = 314,6 → v_s = 25,4 m/s.
Font que s'allunya: f′ = f·v/(v + v_s) → 633 = 680·340/(340 + v_s) → 340 + v_s = 680·340/633 = 365,2 → v_s = 25,2 m/s.
Els dos resultats coincideixen (≈25 m/s ≈ 91 km/h), cosa que dona molta confiança al valor. Un detall que confirma que la font és la que es mou: la desviació cap amunt (55 Hz) és més gran que la desviació cap avall (47 Hz). Si fos l'observador qui es mogués, les desviacions serien simètriques. Per tant, la mesura és físicament coherent, encara que la incertesa de l'aparell encara s'ha d'analitzar.
2. Quina incertesa té la velocitat obtinguda amb el marge del ±3 % de l'aplicació? Serveix aquesta mesura per sancionar?
Read the worked answer
Propagació: v_s = v(1 − f/f′). Com que f/f′ ≈ 0,925, el factor d'amplificació de l'error relatiu és (f/f′)/(1 − f/f′) = 0,925/0,075 ≈ 12. Un 3 % en la freqüència es converteix en un ≈37 % en la velocitat.
Números: ±3 % de 735 Hz són ±22 Hz.
- f′ = 757 Hz → v_s = 340·(1 − 680/757) = 34,6 m/s.
- f′ = 713 Hz → v_s = 340·(1 − 680/713) = 15,7 m/s.
Resultat: v_s = 25 ± 10 m/s. És a dir, la mesura és compatible amb anar a 56 km/h o a 125 km/h: no serveix per sancionar.
Què caldria: per tenir un 10 % d'error en la velocitat caldria ≈0,8 % en la freqüència (uns 6 Hz), cosa que exigeix un equip calibrat i no l'aplicació d'un mòbil. La lliçó és que l'error relatiu es dispara quan la magnitud que mesurem (el desplaçament Doppler) és petita comparada amb la mesura directa.
3. A 100 m de la cruïlla, quin nivell sonor hi haurà amb una sirena i amb dues? El vigilant supera el límit de 80 dB?
Read the worked answer
Atenuació geomètrica: I ∝ 1/r². Passar de 10 m a 100 m és multiplicar la distància per 10, cosa que fa baixar el nivell 20·log₁₀(10) = 20 dB. Per tant, a 100 m: 100 − 20 = 80 dB amb una sirena.
Dues sirenes idèntiques: 80 + 10·log₁₀(2) = 83 dB.
Comparació amb el criteri: el límit de 80 dB és per a 8 h; per a 6 h el nivell admissible equivalent seria 80 + 10·log₁₀(8/6) = 81,3 dB. Com que 83 dB > 81,3 dB, sí que se supera el criteri d'exposició diària.
Matisos imprescindibles: el càlcul suposa camp lliure i font puntual; a la pràctica hi ha reflexions en façanes, absorció i el pesatge A (dB(A)), i la sirena no és puntual ni està sempre activa. Caldria confirmar-ho amb un sonòmetre homologat abans de qualsevol conclusió ferma.