Projector de diapositives: focal, augment i precisió del focus
Per a la jornada de portes obertes, l'alumnat de Tecnologia munta un projector amb una lent convergent de distància focal +10,0 cm i una diapositiva de 2,0 cm d'alçada. La pantalla és a 3,00 m de la lent i la imatge hi ha de sortir nítida i ben orientada per al públic, que mira la pantalla. El suport de la lent té un cargol de focus amb divisions d'1 mm i un joc de ±0,5 cm respecte a la posició teòrica. El cartell que volen projectar fa 80 cm d'alçada a la pantalla, i el professor dubta que amb aquesta lent es pugui aconseguir. La lent té 4,0 cm de diàmetre i la diapositiva s'il·lumina amb una llum molt intensa. A més, la sala no es pot enfosquir del tot i el públic se situa a 2 m de la pantalla.
1. On cal col·locar la diapositiva perquè la imatge surti nítida a la pantalla? Quina mida tindrà la imatge i com s'ha de posar la diapositiva?
Read the worked answer
Posició: 1/f = 1/s + 1/s′ amb s′ = 300 cm i f = 10,0 cm: 1/s = 1/10 − 1/300 = (30 − 1)/300 = 29/300 → s = 300/29 = 10,34 cm.
La diapositiva va 3,4 mm més enllà del focus, no al focus (al focus no es forma imatge).
Augment: m = −s′/s = −300/10,34 = −29,0. La imatge fa 29·2,0 = 58 cm i és invertida i real.
Orientació: com que la imatge és invertida, la diapositiva s'ha de col·locar cap per avall perquè el públic la vegi bé. És un error habitual oblidar-ho.
Mida: 58 cm, no els 80 cm que demana el cartell: amb aquesta lent la mida no arriba.
2. Es poden aconseguir els 80 cm d'imatge amb aquesta lent mantenint la pantalla a 3,00 m? Quina lent caldria?
Read the worked answer
Amb la pantalla fixa, D = s + s′ = 300 cm, i de l'equació de les lents es dedueix s·s′ = f·D = 10,0·300 = 3 000 cm². Resolent el sistema:
s² − 300s + 3 000 = 0 → s = (300 ± √(90 000 − 12 000))/2 → s = 10,3 cm i s′ = 289,7 cm.
Aquesta és l'única configuració possible amb f = 10 cm, i dona m = 289,7/10,3 ≈ 28, és a dir, una imatge de 56 cm. No hi ha cap altra posició que doni més augment: el valor està fixat per f i per D.
Què caldria per a m = 40: s = D/(m+1) = 300/41 = 7,32 cm, s′ = 292,7 cm, i f = s·s′/D = 7,32·292,7/300 = 7,1 cm. Cal una lent de focal ≈7 cm (o allunyar la pantalla, cosa que la sala no permet).
3. Quina sensibilitat té el focus? És acceptable el joc de ±0,5 cm del cargol?
Read the worked answer
Derivada: de 1/s + 1/s′ = 1/f s'obté ds′/ds = −(s′/s)² = −m² ≈ −841, és a dir, un desplaçament petit de la diapositiva mou la imatge 841 vegades més.
Amb el joc de ±0,5 cm:
- s = 10,84 cm → 1/s′ = 0,100 − 0,0923 = 0,0077 → s′ = 129 cm: la imatge es forma molt abans de la pantalla i surt desenfocada.
- s = 9,84 cm → 1/s′ = 0,100 − 0,1016 = −0,0016 → s′ = −613 cm: imatge virtual, no es projecta gens.
Conclusió: el joc de mig centímetre és del tot inacceptable. Fins i tot 1 mm mou la imatge entre 237 cm i 427 cm. Perquè la imatge no es desviï més d'1 cm cal ajustar s amb una precisió de l'ordre de 0,01 mm, cosa que exigeix un cargol fi i un muntatge rígid; en la pràctica es fa el focus mirant la pantalla i no pas amb la posició teòrica calculada.