Camp gravitatori i mecànica orbital
Camp i potencial gravitatori
La prova de la PAU demana calcular camps, potencials i energies de distribucions de masses puntuals, i resoldre problemes de satèl·lits i òrbites circulars. La llei de Newton de la gravitació és el punt de partida: F = G m₁m₂/r², sempre atractiva i dirigida segons la recta que uneix les masses. El camp creat per una massa M a distància r val g = GM/r², i és un vector que apunta cap a M; el potencial és V = −GM/r, escalar i negatiu, amb zero a l'infinit. L'energia potencial d'una massa m és U = −GMm/r, i el camp és menys el gradient del potencial: g = −dV/dr.
Òrbites circulars
Per a un satèl·lit en òrbita circular de radi r, la força gravitatòria fa de centrípeta: GMm/r² = mv²/r, d'on v = √(GM/r). El període satisfà T² = 4π²r³/(GM), que és la tercera llei de Kepler. L'energia mecànica total és E = −GMm/(2r) = U/2, és a dir, la meitat de l'energia potencial. Un satèl·lit geoestacionari té T = 24 h, òrbita equatorial i el mateix sentit de gir que la Terra; el seu radi s'obté aïllant r de la tercera llei.
Exemple resolt
Un satèl·lit de 500 kg orbita a r = 7,0·10⁶ m del centre de la Terra (M = 5,98·10²⁴ kg, G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²). v = √(6,67·10⁻¹¹·5,98·10²⁴/7,0·10⁶) = √(5,70·10⁷) ≈ 7,55·10³ m/s. L'energia mecànica és E = −GMm/(2r) = −(6,67·10⁻¹¹·5,98·10²⁴·500)/(2·7,0·10⁶) ≈ −1,42·10¹⁰ J. Per portar-lo des de la superfície (R_T = 6,37·10⁶ m) caldria un treball extern W = E_final − E_inicial, positiu, igual a l'augment d'energia mecànica.
Errors que costen punts
Posar r = h (altitud) en lloc de r = R_T + h; oblidar el signe negatiu de V i U; escriure g = GM/r en lloc de r²; confondre l'energia d'una òrbita amb l'energia d'escapament; i no justificar que la força gravitatòria és la força centrípeta abans d'igualar-les.