Difusor elíptico y reflector parabólico: cuando la plantilla de taller no es la curva
Un taller de iluminación técnica debe fabricar una lámpara de techo con dos piezas críticas. La primera es un difusor de vidrio templado de contorno elíptico, con semieje mayor a = 90 mm y semieje menor b = 60 mm. El proveedor de corte por control numérico exige la curva como entidad «elipse» y rechaza cualquier contorno formado por arcos de circunferencia. En el taller existe desde hace años una plantilla de óvalo de cuatro centros, tangente a los ejes en sus extremos, que se usaba para cortar a mano. La segunda pieza es un reflector parabólico de 300 mm de diámetro de boca y 60 mm de profundidad; la fuente de luz, puntual, debe ir en el foco. En almacén hay una plantilla esférica de radio 187,5 mm que el jefe de taller propone reutilizar porque «su distancia focal coincide». El difusor lleva además un rebaje circular de Ø24 mm centrado en el eje mayor, a 70 mm del centro, para el paso del cable. Antes de lanzar la orden de fabricación se pide un informe técnico con los cálculos que justifiquen las decisiones.
1. El proveedor rechaza el óvalo de cuatro centros. Calcula los radios de curvatura de la elipse en los extremos de los ejes y explica, con esos números, por qué la plantilla no puede sustituir a la elipse.
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Cálculo.
- En el extremo del eje mayor: ρ = b²/a = 60²/90 = 40 mm.
- En el extremo del eje menor: ρ = a²/b = 90²/60 = 135 mm.
- Relación entre ambos: 135/40 = 3,375.
Por qué el óvalo no sirve.
- Un óvalo de cuatro centros dispone solo de dos radios (R grande y r pequeño) y sus centros están forzados por la tangencia en los cuatro vértices de los ejes. No puede reproducir una curvatura que varía de forma continua entre 40 y 135 mm.
- El óvalo solo coincide con la elipse en los cuatro puntos de tangencia; en el resto se separa, y la separación crece en las zonas próximas a los 45°, que es justo donde el vidrio se ve de canto en el montaje.
- En las uniones de los arcos hay tangencia (continuidad C¹) pero salto de curvatura (no es C²): en un canto pulido eso se traduce en un cambio brusco del reflejo y en un punto débil frente a la templación. La elipse es C^∞.
- La única circunferencia que puede tener contacto de orden superior con la elipse es la osculatriz de un vértice (radio 40 mm en el extremo del eje mayor), y solo vale en ese punto.
Qué entregar. La elipse como entidad elipse o NURBS definida por centro, a = 90 y b = 60; si el CAM exige polilínea, aproximarla con spline y tolerancia de flecha ≤ 0,1 mm. Datos de control para verificar la curva: c = √(a² − b²) = √(8100 − 3600) = 67,08 mm, y para cualquier punto de la elipse la suma de distancias a los focos debe ser 2a = 180 mm.
2. Reflector: calcula la distancia focal de la parábola a partir del diámetro de boca y de la profundidad, y decide si la plantilla esférica de R = 187,5 mm es utilizable.
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Parábola. Con el vértice en el origen y el eje vertical: x² = 4py. En la boca, x = 150 mm e y = 60 mm: p = 150²/(4·60) = 22500/240 = 93,75 mm. El foco está a 93,75 mm del vértice.
La coincidencia que engaña. Una esfera de R = 187,5 mm tiene foco paraxial en R/2 = 93,75 mm, exactamente el mismo valor. De ahí la propuesta del jefe de taller. Pero:
- No es la misma superficie. La esfera de R = 187,5 con la misma cuerda de Ø300 tiene flecha s = R − √(R² − 150²) = 187,5 − √(35156,25 − 22500) = 187,5 − 112,5 = 75 mm, no 60 mm.
- Si se fuerza la flecha de 60 mm con boca de 150 mm, la esfera necesaria es R = (r² + s²)/(2s) = (22500 + 3600)/120 = 217,5 mm, cuyo foco paraxial sería 108,75 mm, tampoco 93,75 mm.
- Aberración esférica. Aun con R = 187,5, un rayo marginal a h = 150 mm cumple sen θ = 150/187,5 = 0,8 (cos θ = 0,6) y cruza el eje a R − R/(2cos θ) = 187,5 − 156,25 = 31,25 mm del vértice, frente a los 93,75 mm paraxiales: un reparto de foco de más de 60 mm. Una fuente puntual situada en el foco daría un haz desenfocado.
Conclusión. Se rechaza la plantilla esférica como generador. Solo puede usarse para desbaste previo. La parábola p = 93,75 mm colima exactamente la luz de una fuente puntual situada en su foco, y esa es la propiedad que el producto necesita.
3. Comprueba si el rebaje de Ø24 mm cabe dentro del contorno del difusor y explica contra qué curva hay que verificar, no contra el óvalo.
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Control contra la elipse. La semicuerda vertical de la elipse en x = 70 mm vale: y = b·√(1 − x²/a²) = 60·√(1 − 4900/8100) = 60·√0,39506 = 60 × 0,62854 = 37,71 mm.
Puntos críticos del rebaje (centro en x = 70, radio 12 mm):
- En x = 70 el borde del taladro llega a y = 12 mm → margen 37,71 − 12 = 25,71 mm.
- En el extremo exterior del rebaje, x = 82 mm: y = 60·√(1 − 6724/8100) = 60·√0,16988 = 60 × 0,41216 = 24,73 mm → margen 24,73 − 12 = 12,73 mm.
- En el extremo interior, x = 58 mm, la semicuerda es mayor, luego no es crítico.
El rebaje cabe, con un margen mínimo de 12,73 mm, suficiente para el templado.
Por qué no vale comprobar contra el óvalo. El óvalo de cuatro centros es más ancho que la elipse en unas zonas y más estrecho en otras; en la zona de x ≈ 82 mm su semicuerda puede ser mayor que la de la elipse y dar una falsa sensación de seguridad. La verificación de interferencias se hace siempre contra la curva real que va a cortar el proveedor, es decir, contra la ecuación de la elipse (o contra la spline entregada, con su tolerancia). Si el margen fuese inferior al mínimo de diseño, habría que desplazar el rebaje hacia el centro o reducir el diámetro, nunca «ajustar» la elipse.