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Question 1Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En un triángulo, ¿qué nombre recibe el punto donde se cortan las tres mediatrices de sus lados?

  1. Baricentro
  2. Ortocentro
  3. Incentro
  4. Circuncentro Correct answer.

Explanation

Las mediatrices de los lados equidistan de los vértices, por lo que su intersección es el centro de la circunferencia circunscrita, llamado circuncentro. En un triángulo acutángulo queda en el interior y en un obtusángulo, fuera.

Question 2Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué lugar geométrico describe un punto que se mantiene siempre a la misma distancia de dos puntos fijos A y B?

  1. La mediatriz del segmento AB Correct answer.
  2. La circunferencia de diámetro AB
  3. La bisectriz del ángulo que forman A y B
  4. Una recta paralela a AB por su punto medio

Explanation

El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos fijos es la recta perpendicular al segmento por su punto medio, es decir, su mediatriz. Cualquier punto de esa recta forma un triángulo isósceles con A y B.

Question 3Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Cuánto mide el ángulo central que abarca un arco si el ángulo inscrito que abarca ese mismo arco mide 35°?

  1. 70° Correct answer.
  2. 17,5°
  3. 35°
  4. 140°

Explanation

El ángulo central mide el doble del ángulo inscrito que abarca el mismo arco, ya que ambos se apoyan sobre la misma cuerda y el vértice del inscrito está en la circunferencia. Por tanto, 2 × 35° = 70°.

Question 4Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué elemento de una elipse se define como la distancia entre uno de sus focos y el punto de corte con el eje menor?

  1. La distancia focal c
  2. El semieje mayor a Correct answer.
  3. El semieje menor b
  4. El parámetro focal p

Explanation

En la elipse, la suma de distancias de cualquier punto a los dos focos es 2a, y el punto del eje menor equidista de ambos focos. El triángulo formado por el centro, un foco y ese vértice es rectángulo, con hipotenusa igual al semieje mayor a.

Question 5Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Con qué instrumento se traza una recta paralela a otra a una distancia dada usando el compás y la escuadra?

  1. Levantando la perpendicular en un solo punto de la recta
  2. Uniendo el punto medio del segmento con el extremo opuesto
  3. Trazando la bisectriz del ángulo que forma la recta con la horizontal
  4. Mediante dos arcos de igual radio trazados desde dos puntos de la recta y su tangente común Correct answer.

Explanation

Para trazar una paralela a distancia d se marcan dos puntos sobre la recta, se trazan arcos de radio d desde ambos y se une la recta tangente común a los dos arcos. Así todos sus puntos quedan a la distancia d pedida.

Question 6Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una hipérbola, ¿qué relación liga los semiejes a y b con la semidistancia focal c?

  1. a² = b² + c²
  2. c² = a² + b² Correct answer.
  3. c = a + b
  4. b² = a² + c²

Explanation

En la hipérbola la diferencia constante de distancias a los focos es 2a, y el triángulo formado por el centro, un vértice y un foco es rectángulo con hipotenusa c. De ahí se deduce que c² = a² + b².

Question 7Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué curva técnica se genera al hacer rodar una circunferencia sin deslizar sobre una recta?

  1. Evolvente
  2. Espiral de Arquímedes
  3. Cicloide Correct answer.
  4. Hélice

Explanation

La cicloide es la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. Su longitud de arco en una vuelta completa es 8r y su altura máxima es 2r.

Question 8Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Cuál es la condición para que cuatro puntos A, B, C y D sean concíclicos?

  1. Que los ángulos opuestos del cuadrilátero que forman sumen 180° Correct answer.
  2. Que sus diagonales se corten en su punto medio
  3. Que los cuatro lados sean iguales
  4. Que las diagonales sean perpendiculares

Explanation

Un cuadrilátero es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman 180°. Esta condición garantiza la existencia de una circunferencia que pasa por los cuatro vértices.

Question 9Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Dada una circunferencia de radio 5 cm y un punto P exterior a 13 cm del centro, ¿cuánto mide la tangente trazada desde P?

  1. 12 cm Correct answer.
  2. 8 cm
  3. 18 cm
  4. √194 cm

Explanation

El radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, formando un triángulo rectángulo con la distancia al centro como hipotenusa. Aplicando Pitágoras: √(13² − 5²) = √144 = 12 cm.

Question 10Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se quiere construir un triángulo conocidos el lado a = 8 cm, el ángulo B = 40° y el ángulo C = 60°. ¿Qué construcción es la más directa?

  1. Trazar el lado a, levantar en sus extremos los ángulos B y C y cortar los lados resultantes Correct answer.
  2. Trazar la mediatriz de a y situar el vértice A sobre ella
  3. Construir el arco capaz de 40° sobre el segmento a
  4. Trazar la circunferencia circunscrita de radio a y cortar con una recta

Explanation

Conocido el lado a = BC, en el extremo B se traza el ángulo de 40° y en C el de 60°; la intersección de ambos lados determina el vértice A. El tercer ángulo queda automáticamente como 80°.

Question 11Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Cuál es la excentricidad de una elipse cuyos semiejes miden a = 5 y b = 3?

  1. 0,8 Correct answer.
  2. 1,25
  3. 0,4
  4. 0,6

Explanation

Primero se calcula la semidistancia focal: c = √(a² − b²) = √(25 − 9) = 4. La excentricidad es e = c/a = 4/5 = 0,8, valor menor que 1 propio de la elipse.

Question 12Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué propiedad cumple la recta tangente a una parábola en un punto P respecto a la bisectriz del ángulo formado por el radio vector y el eje?

  1. La tangente es paralela a la directriz en todos los puntos
  2. La tangente pasa siempre por el vértice de la parábola
  3. La tangente biseca el ángulo entre el radio vector PF y la recta paralela al eje por P Correct answer.
  4. La tangente es perpendicular al radio vector PF

Explanation

La tangente en P es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector PF y la recta paralela al eje que pasa por P. Esta propiedad óptica explica que los rayos paralelos al eje se reflejen hacia el foco.

Question 13Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Al dividir una circunferencia en 7 partes iguales mediante el método general de división, ¿qué operación previa es imprescindible?

  1. Construir el heptágono regular a partir de su apotema
  2. Dividir el diámetro vertical en 7 partes iguales con el teorema de Tales y unir con el extremo del diámetro horizontal Correct answer.
  3. Trazar la circunferencia inscrita en un heptágono dado
  4. Trazar las bisectrices de los ángulos centrales sucesivos

Explanation

El método general divide primero el diámetro vertical en tantas partes iguales como lados mediante el teorema de Tales. Después se une el extremo del diámetro horizontal con las divisiones pares para obtener los vértices.

Question 14Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué relación existe entre la longitud de una circunferencia y la de la cicloide que genera una vuelta completa de radio r?

  1. Ambas miden exactamente lo mismo, 2πr
  2. La cicloide mide 4r, la mitad de la circunferencia
  3. La cicloide mide πr, la mitad de la circunferencia
  4. La cicloide mide 8r, frente a 2πr de la circunferencia Correct answer.

Explanation

La longitud de un arco completo de cicloide es 8r, resultado clásico independiente de π. La circunferencia generatriz mide 2πr, cantidad distinta salvo coincidencia numérica.

Question 15Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Un punto P se mueve de modo que su distancia a una recta fija es siempre igual a su distancia a un punto fijo F. ¿Qué curva describe?

  1. Una circunferencia con centro en F
  2. Una hipérbola equilátera
  3. Una parábola de foco F y directriz la recta fija Correct answer.
  4. Una elipse con un foco en F

Explanation

La definición métrica de la parábola es precisamente el lugar de los puntos equidistantes de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz. Por eso la curva descrita es una parábola.

Question 16Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué ángulo forman entre sí las asíntotas de una hipérbola equilátera referida a sus ejes?

  1. 120°
  2. 60°
  3. 90° Correct answer.
  4. 45°

Explanation

En la hipérbola equilátera se cumple a = b, por lo que las asíntotas son y = ±x, perpendiculares entre sí. El ángulo que forman es, por tanto, de 90°.

Question 17Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Para trazar la tangente a una elipse en un punto P de la curva, ¿qué construcción se emplea?

  1. La tangente es perpendicular a la recta que une P con el centro
  2. La tangente es la bisectriz exterior del ángulo formado por los dos radios vectores PF y PF' Correct answer.
  3. La tangente une P con el punto medio del eje mayor
  4. La tangente es la mediatriz del segmento que une los dos focos

Explanation

En la elipse, la tangente en P biseca el ángulo exterior formado por los radios vectores PF y PF'. La normal, en cambio, es la bisectriz interior de ese mismo ángulo.

Question 18Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se traza un arco capaz de 60° sobre un segmento AB. ¿Qué ángulo forman las rectas que unen un punto del arco con A y con B?

  1. 60° Correct answer.
  2. 120°
  3. 30°
  4. 90°

Explanation

El arco capaz de un ángulo α es el lugar de los puntos desde los que el segmento AB se ve bajo ese ángulo α. Cualquier punto del arco forma con A y B un ángulo de 60°.

Question 19Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

¿Qué curva se obtiene al combinar un movimiento circular uniforme con un desplazamiento radial proporcional al ángulo girado?

  1. Cicloide
  2. Óvalo de Cassini
  3. Espiral de Arquímedes Correct answer.
  4. Evolvente del círculo

Explanation

La espiral de Arquímedes resulta de sumar un giro uniforme con un avance radial constante por unidad de ángulo, de ecuación r = kθ. Sus espiras quedan equidistantes a lo largo de un mismo radio.

Question 20Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En un triángulo rectángulo, ¿dónde se sitúa el ortocentro?

  1. Fuera del triángulo, sobre la prolongación de un cateto
  2. En el punto medio de la hipotenusa
  3. En el interior, coincidiendo con el incentro
  4. En el vértice del ángulo recto Correct answer.

Explanation

En un triángulo rectángulo, los dos catetos son alturas entre sí, de modo que dos alturas coinciden con los lados que concurren en el vértice recto. Por eso el ortocentro es ese mismo vértice.

Question 21Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Dos circunferencias de radios 7 cm y 3 cm tienen sus centros separados 10 cm. ¿Qué tipo de tangencia presentan?

  1. Tangencia interior
  2. Secantes
  3. Tangencia exterior Correct answer.
  4. Exteriores sin contacto

Explanation

La suma de los radios, 7 + 3 = 10 cm, coincide con la distancia entre centros, condición de tangencia exterior. Las circunferencias se tocan en un único punto situado entre ambos centros.

Question 22Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se desea construir un triángulo isósceles conocida la base AB = 6 cm y el ángulo opuesto a la base de 50°. ¿Qué construcción permite obtener el vértice C?

  1. Trazar el arco capaz de 50° sobre AB y cortarlo con la mediatriz de AB Correct answer.
  2. Trazar la bisectriz de AB y cortarla con una paralela a AB
  3. Trazar la circunferencia de radio 6 cm con centro en A y cortarla con la mediatriz
  4. Levantar perpendiculares en A y B y unir sus extremos

Explanation

El vértice C debe ver el segmento AB bajo 50°, por lo que pertenece al arco capaz de ese ángulo. Como el triángulo es isósceles, C también equidista de A y B, luego está en la mediatriz; la intersección de ambos lugares da C.

Question 23Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Una recta r es tangente a una parábola de foco F. ¿Qué propiedad cumple el punto de tangencia T respecto a la circunferencia de diámetro FT?

  1. La recta r es perpendicular a FT en todos sus puntos
  2. El punto T es el centro de esa circunferencia
  3. T pertenece a la circunferencia de diámetro FT, cuyo centro está en el punto medio de FT Correct answer.
  4. La circunferencia de diámetro FT es tangente a la directriz en T

Explanation

Todo punto T de la parábola verifica que la tangente en T es la bisectriz del ángulo entre el radio vector TF y la paralela al eje. De ahí se deduce que T pertenece a la circunferencia de diámetro FT, con centro en el punto medio del segmento.

Question 24Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una elipse de semiejes a = 10 y b = 6, se traza la circunferencia principal. ¿Qué radio tiene y qué relación guarda con la elipse?

  1. Radio b = 6; es tangente a la elipse en los vértices del eje mayor
  2. Radio a + b = 16; contiene a la elipse
  3. Radio c = 8; pasa por los focos de la elipse
  4. Radio a = 10; es el lugar de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes Correct answer.

Explanation

La circunferencia principal de una elipse tiene centro en el de la elipse y radio igual al semieje mayor a. Además, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a cualquier tangente.

Question 25Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Al trazar la evolvente de una circunferencia de radio r, ¿qué longitud tiene el segmento recto correspondiente a un desarrollo angular de 90°?

  1. πr
  2. 2πr
  3. r
  4. πr/2 Correct answer.

Explanation

La evolvente se genera desenvolviendo el hilo de la circunferencia, de modo que la longitud desarrollada es igual al arco recorrido. Un cuarto de circunferencia mide (2πr)/4 = πr/2.

Question 26Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En el trazado de un arco capaz de 90° sobre un segmento AB, ¿qué elemento geométrico determina directamente el lugar de los puntos desde los que AB se ve bajo 90°?

  1. La mediatriz de AB
  2. La recta perpendicular a AB por su punto medio
  3. El eje radical de las circunferencias de radio AB
  4. La circunferencia de diámetro AB Correct answer.

Explanation

El arco capaz de 90° es el lugar de puntos desde los que el segmento AB se ve en ángulo recto. Por el teorema de Tales, ese lugar es la circunferencia de diámetro AB, excluyendo los extremos. La mediatriz solo contiene los centros de los arcos capaces, no el lugar completo.

Question 27Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se traza la bisectriz de un ángulo convexo de 74°. ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos resultantes y qué propiedad define a esa recta?

  1. 37° cada uno; la bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes del vértice
  2. 74° cada uno; la bisectriz divide el ángulo en partes iguales al ángulo total
  3. 148° cada uno; la bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes del vértice
  4. 37° cada uno; la bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes de los dos lados Correct answer.

Explanation

La bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales, de modo que cada mitad mide 74°/2 = 37°. Además, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, propiedad que permite trazarla con circunferencias auxiliares.

Question 28Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una parábola, ¿qué lugar geométrico ocupa el simétrico del foco F respecto de cualquier recta tangente a la curva?

  1. La tangente en el vértice
  2. La directriz de la parábola Correct answer.
  3. La circunferencia focal de radio 2p
  4. El eje de la parábola

Explanation

En toda parábola, el simétrico del foco respecto a una tangente cualquiera cae sobre la directriz. Esta propiedad se usa para trazar tangentes y para construir la curva por puntos. El eje y la tangente en el vértice no contienen, en general, esos simétricos.

Question 29Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una elipse de semieje mayor a = 13 y semieje menor b = 5, ¿cuánto vale la distancia entre los dos focos?

  1. 10
  2. 8
  3. 12
  4. 24 Correct answer.

Explanation

La semidistancia focal cumple c² = a² − b² = 169 − 25 = 144, luego c = 12. La distancia entre focos es 2c = 24. Es habitual confundir c con 2c al responder.

Question 30Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se desea trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto T de ella, conocido el centro O. ¿Qué recta se construye?

  1. La recta que une T con el extremo del diámetro perpendicular a OT
  2. La perpendicular al diámetro que pasa por el punto medio del arco
  3. La perpendicular al radio OT trazada por T Correct answer.
  4. La paralela al radio OT trazada por T

Explanation

El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la tangente en ese punto. Por tanto, se traza por T la perpendicular a OT. Esta es la construcción básica de tangencias en circunferencias.

Question 31Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Un punto P recorre el plano cumpliendo que la diferencia de sus distancias a dos focos fijos F y F' es constante y menor que la distancia entre focos. ¿Qué cónica describe?

  1. Una parábola
  2. Una hipérbola Correct answer.
  3. Una elipse
  4. Una circunferencia

Explanation

La hipérbola es el lugar de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante y menor que la distancia focal. En la elipse la suma es constante, y en la parábola la distancia a un punto iguala la distancia a una recta.

Question 32Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una hipérbola de semiejes a = 6 y b = 8, ¿qué valor tiene la excentricidad?

  1. 3/5
  2. 4/3
  3. 5/3 Correct answer.
  4. 8/6

Explanation

Primero se calcula c con c² = a² + b² = 36 + 64 = 100, luego c = 10. La excentricidad es e = c/a = 10/6 = 5/3, siempre mayor que 1 en la hipérbola.

Question 33Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Al construir una cicloide generada por una circunferencia de radio r que rueda sin deslizar, ¿qué longitud tiene la base sobre la que se apoya una vuelta completa?

  1. 2r
  2. 4r
  3. πr
  4. 2πr Correct answer.

Explanation

Al rodar sin deslizar una vuelta, la circunferencia recorre sobre la recta una longitud igual a su perímetro, 2πr. Ese segmento es la base de la cicloide. La altura máxima de la curva es 2r, pero no la base.

Question 34Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se traza la evolvente de una circunferencia de radio r. ¿Qué longitud tiene el segmento recto tangente correspondiente a un ángulo de desarrollo de 90°?

  1. πr/2 Correct answer.
  2. πr
  3. 2πr
  4. r

Explanation

En la evolvente, la longitud desarrollada sobre la tangente iguala el arco de circunferencia correspondiente. Un ángulo de 90° abarca un arco de (π/2)·r. Por eso el segmento recto mide πr/2.

Question 35Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una espiral de Arquímedes, ¿qué relación existe entre el radio vector y el ángulo girado?

  1. El radio vector crece con el cuadrado del ángulo girado
  2. El radio vector es inversamente proporcional al ángulo girado
  3. El radio vector es directamente proporcional al ángulo girado Correct answer.
  4. El radio vector permanece constante mientras gira

Explanation

La espiral de Arquímedes cumple ρ = k·θ, de modo que el radio vector crece proporcionalmente al ángulo. Por eso los pasos sucesivos entre espiras son iguales. La proporcionalidad inversa o cuadrática corresponde a otras curvas.

Question 36Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se quiere dividir un segmento AB en cinco partes iguales aplicando el teorema de Tales. ¿Qué construcción auxiliar es la adecuada?

  1. Trazar la mediatriz de AB y repetirla cinco veces
  2. Dividir el ángulo de 180° en cinco ángulos iguales desde el punto medio
  3. Trazar por A una semirrecta cualquiera, llevar cinco segmentos iguales y unir el último con B mediante paralelas Correct answer.
  4. Construir el arco capaz de 36° sobre AB

Explanation

El método de Tales usa una semirrecta auxiliar desde A donde se marcan cinco segmentos iguales. Al unir el quinto punto con B y trazar paralelas a esa recta por los demás, el segmento AB queda dividido en cinco partes proporcionales iguales.

Question 37Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Dos circunferencias son tangentes exteriores. ¿Qué relación cumplen sus radios r y R y la distancia d entre centros?

  1. d = R + r Correct answer.
  2. d mayor que R + r
  3. d = R − r
  4. d menor que R − r

Explanation

En la tangencia exterior las circunferencias se tocan por fuera y la distancia entre centros es la suma de los radios. La diferencia R − r corresponde a la tangencia interior.

Question 38Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una elipse, ¿qué nombre recibe la circunferencia de centro el de la elipse y radio el semieje mayor a?

  1. Circunferencia directriz
  2. Circunferencia osculatriz en el vértice
  3. Circunferencia principal Correct answer.
  4. Circunferencia focal

Explanation

La circunferencia principal tiene centro en el de la elipse y radio a; sirve para trazar tangentes y localizar puntos. La circunferencia focal tiene centro en un foco y radio 2a. La directriz es una recta, no una circunferencia.

Question 39Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una parábola de parámetro p, ¿qué distancia hay entre el foco y la directriz?

  1. p/2
  2. p Correct answer.
  3. 4p
  4. 2p

Explanation

El parámetro p es precisamente la distancia del foco a la directriz. El vértice queda a p/2 de ambos. Por eso la distancia focal desde el vértice es p/2.

Question 40Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se construye un óvalo isométrico a partir de un cuadrado de lado L. ¿Qué radio tienen los arcos mayores y cuáles los menores?

  1. Arcos mayores de radio L y menores de radio L(√3−1)/2, aproximadamente 0,366L Correct answer.
  2. Arcos mayores de radio L√2 y menores de radio L
  3. Arcos mayores de radio L/2 y menores de radio L/4
  4. Todos los arcos tienen radio L/2

Explanation

En el óvalo isométrico inscrito en un cuadrado de lado L, los arcos mayores se centran en los vértices del cuadrado con radio L. Los arcos menores tienen centros en los puntos medios y radio L(√3−1)/2, unos 0,366L, lo que garantiza la continuidad de la curva.

Question 41Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En un ovoide conocido el eje mayor, ¿cómo se determina el centro del semicírculo que forma uno de sus extremos?

  1. Se toma el punto medio del eje menor y se traza un semicírculo de radio igual al eje mayor
  2. Se traza el semicírculo desde uno de los focos de la elipse asociada
  3. Se usa el punto de tangencia de la mediatriz con el eje menor
  4. Se toma el punto medio del eje mayor y se traza el semicírculo de diámetro ese eje Correct answer.

Explanation

El ovoide se construye sobre un eje mayor AB; el extremo redondeado es un semicírculo de diámetro AB centrado en su punto medio. A partir de ahí se empalman los arcos laterales. El ovoide tiene un solo eje de simetría, a diferencia del óvalo.

Question 42Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una hipérbola, ¿qué propiedad cumple la recta tangente en un punto P respecto a los radios vectores PF y PF'?

  1. Es perpendicular a la bisectriz del ángulo de los radios vectores
  2. Es la bisectriz del ángulo formado por uno de los radios vectores y la prolongación del otro Correct answer.
  3. Es paralela a uno de los radios vectores
  4. Coincide siempre con la normal en P

Explanation

En la hipérbola, la tangente biseca el ángulo entre un radio vector y la prolongación del otro. Esta propiedad óptica permite trazar tangentes con precisión y explica la reflexión de rayos. La normal es perpendicular a la tangente y biseca el ángulo interior.

Question 43Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una elipse, ¿cómo se relaciona la tangente en un punto P con los radios vectores PF y PF'?

  1. La tangente pasa siempre por el centro de la elipse
  2. La tangente es paralela al eje menor
  3. La tangente es la bisectriz exterior de los radios vectores Correct answer.
  4. La tangente es perpendicular a la suma de los radios vectores

Explanation

La tangente a la elipse en P biseca el ángulo exterior formado por los radios vectores, propiedad de reflexión de la elipse. La normal, perpendicular a ella, biseca el ángulo interior. Esto permite construir la tangente sin conocer toda la curva.

Question 44Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se traza un arco capaz de 120° sobre un segmento AB. ¿Dónde se sitúa el centro de la circunferencia que lo contiene respecto a AB?

  1. Sobre la mediatriz, a una distancia AB/2 del punto medio
  2. Sobre uno de los extremos A o B
  3. Del mismo lado que el arco, a una distancia del punto medio igual a (AB/2)/tan(60°) Correct answer.
  4. Del lado opuesto al arco, a una distancia igual a AB

Explanation

El ángulo central correspondiente a un arco capaz de 120° es 240°, y el ángulo inscrito suplementario es 60°. El centro queda en la mediatriz, del mismo lado que el arco, a una distancia d = (AB/2)/tan(60°) del punto medio.

Question 45Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una hipérbola equilátera, ¿qué relación guardan los semiejes y las asíntotas?

  1. a = 2b y las asíntotas forman 45° entre sí
  2. a = b y las asíntotas forman 90° entre sí Correct answer.
  3. a = b y las asíntotas forman 45° entre sí
  4. a = b/2 y las asíntotas son paralelas al eje real

Explanation

En la hipérbola equilátera los semiejes son iguales, a = b, y las asíntotas y = ±(b/a)x resultan perpendiculares, formando 90°. Es el caso particular en que la hipérbola es también rectangular.

Question 46Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En el trazado de la tangente a una parábola desde un punto exterior P, ¿qué construcción auxiliar se emplea habitualmente?

  1. El arco capaz de 90° sobre la distancia focal
  2. La circunferencia de diámetro PF, que corta a la tangente en el vértice en puntos que permiten hallar los puntos de tangencia Correct answer.
  3. La mediatriz de la distancia de P a la directriz
  4. La circunferencia focal de radio 2p centrada en el foco

Explanation

Se traza la circunferencia de diámetro PF y se corta con la tangente en el vértice; las rectas que unen P con esos puntos de corte son las tangentes buscadas. Este método aprovecha la propiedad de la circunferencia de diámetro PF en la parábola.

Question 47Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Se quiere trazar la recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior P. ¿Qué paso inicial es correcto?

  1. Unir P con el centro O y tomar esa recta como tangente
  2. Trazar la circunferencia de diámetro OP, que corta a la dada en los puntos de tangencia Correct answer.
  3. Trazar la mediatriz de OP y usarla como tangente
  4. Trazar por P una paralela al radio de la circunferencia

Explanation

La circunferencia de diámetro OP corta a la circunferencia dada en los puntos de tangencia, porque el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Uniendo P con esos puntos se obtienen las dos tangentes.

Question 48Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En una elipse, la circunferencia focal tiene centro en un foco. ¿Qué radio tiene y para qué se emplea?

  1. Radio b; sirve para determinar los vértices del eje menor
  2. Radio c; sirve para situar los focos sobre el eje mayor
  3. Radio a; sirve para trazar la circunferencia principal
  4. Radio 2a; sirve para trazar tangentes y localizar puntos de la elipse Correct answer.

Explanation

La circunferencia focal de la elipse se centra en un foco y tiene radio 2a. El simétrico de un foco respecto a una tangente cae sobre ella, lo que permite construir tangentes. La circunferencia principal tiene radio a y centro en el de la elipse.

Question 49Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

Al trazar una espiral de Arquímedes de paso constante, ¿qué distancia separa dos espiras consecutivas medidas sobre un mismo radio?

  1. Una distancia que se duplica en cada vuelta
  2. Una distancia que disminuye geométricamente
  3. Una distancia constante igual al paso de la espiral Correct answer.
  4. Una distancia igual al radio inicial en la primera vuelta y nula después

Explanation

Como ρ = k·θ, al aumentar el ángulo en 2π el radio crece siempre la misma cantidad, igual al paso. Por eso las espiras consecutivas quedan separadas uniformemente sobre cualquier radio.

Question 50Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, curvas cónicas y curvas técnicas

En un ángulo de 60°, se traza su bisectriz y por un punto P de ella se levanta la perpendicular a uno de los lados. ¿Qué propiedad garantiza que la distancia de P a ambos lados sea la misma?

  1. Todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo Correct answer.
  2. La bisectriz es perpendicular a los lados del ángulo
  3. La perpendicular a un lado corta siempre a la bisectriz en su punto medio
  4. Todo punto de la bisectriz equidista del vértice y de los lados

Explanation

La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo. Por eso, si P está en la bisectriz, sus distancias perpendiculares a ambos lados son iguales. Esta propiedad es la base de los trazados de centros de circunferencias tangentes a dos rectas.