Sección de un prisma hexagonal por un plano de canto: los 30 mm que no eran verdadera magnitud
En el departamento técnico se revisa el despiece de un prisma hexagonal regular de 30 mm de circunradio y 100 mm de altura, apoyado por su base en el plano horizontal. Un plano α, proyectante vertical (de canto), corta al prisma: su traza α2 forma 60° con la línea de tierra y corta al eje del prisma a cota 50 mm. El prisma está orientado de modo que dos de sus caras laterales son paralelas a la traza horizontal α1. La sección se necesita en verdadera magnitud para el despiece de chapa. Un delineante ha medido los seis lados de la sección sobre la planta, ha obtenido 30 mm en todos y ha concluido que la sección es un hexágono regular de 30 mm de lado; con ese dato el taller ya ha cortado dos chapas. Además, el prisma lleva un taladro vertical de Ø20 cuyo eje dista 20 mm del eje del prisma, medidos en la dirección de máxima pendiente de α.
1. Calcula la verdadera magnitud de los seis lados de la sección y decide si el delineante tiene razón.
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Qué se ha medido realmente. La proyección horizontal de la sección coincide con el hexágono de la base, porque el prisma es vertical. Medir 30 mm en la planta es medir la proyección, no la verdadera magnitud. En un plano de canto, la cota depende solo de la coordenada x (dirección de máxima pendiente): z = z₀ + x·tan 60°.
Longitud verdadera. Para dos puntos de la sección, L = √(Δx² + Δy² + Δz²) con Δz = Δx·tan 60°: L = √(Δx²(1 + tan²60°) + Δy²) = √(Δx²/cos²60° + Δy²) = √(k²Δx² + Δy²), con k = 1/cos 60° = 2. Es decir: la verdadera magnitud es la planta estirada ×2 en la dirección perpendicular a α1 (afinidad de eje α1 y razón 2).
Aplicación al hexágono. Con circunradio R = 30, los vértices están en (0, ±30) y (±25,98, ±15).
- Los dos lados paralelos a α1 (Δx = 0) conservan su longitud: 30 mm.
- Los otros cuatro lados: Δx = 25,98; Δy = 15 → L = √(4·675 + 225) = √2925 = 54,08 mm (= 30·√13/2).
- Diagonales: la paralela a α1 sigue en 60 mm; la perpendicular pasa a 2 × 51,96 = 103,92 mm.
Conclusión. El delineante se equivoca: la sección es un hexágono irregular con simetría central, con dos lados de 30 mm y cuatro de 54,08 mm. Los 30 mm medidos en la planta son longitudes de la proyección, no de la sección, y las dos chapas cortadas son inservibles.
2. Determina a qué cota el eje del taladro de Ø20 atraviesa el plano α y qué figura produce el corte del taladro con α en verdadera magnitud.
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Cota del punto de penetración. En un plano de canto, la cota no depende del alejamiento: z = z₀ + x·tan 60° = 50 + 20 × 1,7320 = 50 + 34,64 = 84,64 mm.
Comprobaciones que hay que hacer antes de dar el dato por bueno:
- 0 < 84,64 < 100: el punto está dentro de la altura del prisma, luego el eje del taladro corta realmente al plano dentro del sólido y no por encima de la cara superior.
- El punto de planta (x = 20, y = 0) está dentro del hexágono: la distancia máxima según x es 25,98 mm, luego 20 < 25,98 y el taladro no sale por la cara lateral.
Figura de la intersección. El taladro es un cilindro vertical; el plano α lo corta oblicuamente. En proyección horizontal la intersección se ve como la circunferencia de Ø20 (es la traza del cilindro), pero esa no es la verdadera magnitud: aplicando la afinidad de razón 2 en la dirección de máxima pendiente, el círculo se convierte en una elipse de ejes 20 mm (perpendicular a la pendiente) y 40 mm (según la pendiente). El eje menor conserva el diámetro porque la dirección transversal a la pendiente no se deforma.
Error típico que hay que evitar. Dibujar en el abatimiento una circunferencia de Ø20 «porque el taladro es redondo». La sección de un cilindro por un plano oblicuo es una elipse, y solo es una circunferencia si el plano es perpendicular al eje del cilindro.
3. Explica el procedimiento correcto para obtener la verdadera magnitud de la sección y por qué no puede medirse ni en el alzado ni en la planta.
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Por qué no se puede medir en las vistas dadas.
- En el alzado, α es de canto: la sección se proyecta como un segmento de recta sobre α2. Toda la información de longitud se ha perdido.
- En la planta, la sección se proyecta sobre el hexágono de la base. Se conservan las longitudes paralelas a α1 y se acortan todas las que tienen componente en la dirección de máxima pendiente (factor cos 60° = 0,5). Es la vista que indujo el error.
Procedimiento correcto: abatimiento sobre α1.
- Se abate el plano α girándolo alrededor de su traza horizontal α1 hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal.
- Al ser α de canto, el abatimiento es una afinidad de eje α1, dirección perpendicular a α1 y razón k = 1/cos 60° = 2: cada punto de la sección se traslada perpendicularmente a α1 una distancia igual a la que tiene en la planta multiplicada por 2 (equivalente a la hipotenusa del triángulo formado por la distancia en planta a α1 y su cota).
- Se obtienen los seis vértices como intersección de las aristas del prisma con α (en el alzado ya están sobre α2) y se trasladan al abatimiento; se unen en orden y se comprueba que la figura tiene simetría central.
Alternativa de control. Un cambio de plano vertical paralelo a α convierte la sección en verdadera magnitud directamente; sirve como verificación independiente del abatimiento. Y si se dispone de CAD 3D, la sección se obtiene con la intersección sólido-plano, pero hay que comprobar que la escala de trabajo es 1:1 y que la vista resultante no está escalada.