Trazados geométricos: lugares geométricos, ángulos, cónicas y curvas técnicas
Este bloque es el más instrumental de la prueba: hay que resolver construcciones con regla y compás, sin tanteos y sin transportador salvo indicación expresa, justificando cada paso por la propiedad geométrica que lo sustenta.
Lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumple una condición. En la PAU se repiten pocos: mediatriz (equidistante de dos puntos), bisectriz (equidistante de dos rectas), circunferencia, paralelas a una distancia dada y arco capaz. El arco capaz de ángulo α sobre un segmento AB es el arco desde el que AB se ve bajo α; su centro está en la mediatriz de AB y el ángulo central vale 2α.
Ángulos
Además de copiar, sumar, restar y dividir ángulos, hay que dominar los ángulos en la circunferencia: el inscrito mide la mitad del central que abarca el mismo arco, y el semiinscrito también. Para dividir un ángulo o un segmento en n partes iguales se emplea el método de la recta auxiliar (Thales).
Cónicas
Se definen por su propiedad focal: elipse PF+PF′=2a, hipérbola |PF−PF′|=2a, parábola PF=distancia a la directriz. En la elipse a²=b²+c² y la excentricidad e=c/a es menor que 1; en la hipérbola c²=a²+b² y e>1; en la parábola e=1. La tangente en un punto de la elipse es la bisectriz exterior de los radios vectores; en la parábola, la bisectriz del ángulo entre el radio vector y la paralela al eje.
Curvas técnicas y tangencias
Óvalo (cuatro centros, a partir del eje mayor), ovoide (a partir del eje menor), espirales, evolvente y ruletas. En tangencias, el centro de la circunferencia tangente a dos rectas está en la bisectriz; el de la tangente a una recta y a una circunferencia, en una paralela a distancia r y una circunferencia concéntrica de radio R±r.
Ejemplo resuelto
Arco capaz de 60° sobre AB = 50 mm: 1) mediatriz de AB; 2) por A, recta que forma 60° con AB; 3) perpendicular a esa recta por A; 4) su corte con la mediatriz da el centro O, y el radio es OA. Comprobación: el ángulo central es 120° = 2·60°, luego todo punto del arco ve AB bajo 60°. El arco simétrico respecto de AB da también 60°.
Errores que restan puntos
Trazar el arco capaz del suplementario; no dibujar el arco simétrico; no marcar los puntos de tangencia; confundir el semieje mayor con la semidistancia focal; usar el transportador donde se exige compás; dejar el trazado sin las líneas auxiliares que lo justifican.