Mezclas de frutos secos: un parámetro en el sistema de producción
Una cooperativa de Palma fabrica tres mezclas de frutos secos, A, B y C, con almendra, avellana y pistacho. Cada lote semanal consume recursos según el sistema x + y + λz = 3; x + λy + z = 3; λx + y + z = 3, donde x, y, z son los lotes de A, B y C, y λ es un parámetro de la receta que puede cambiar según el proveedor. Las existencias semanales se han fijado en 3 unidades de cada recurso. La gerente observa que, con algunos valores de λ, el sistema deja de tener solución única y no sabe si el plan semanal es inviable o si simplemente hay infinitas formas de repartir la producción. Además, un proveedor ha anunciado que podría suministrar λ = -2, y la gerente quiere saber si eso obliga a rechazar el pedido. El sistema debe resolverse sin calculadora simbólica y justificando cada caso.
1. Clasifica el sistema según los valores de λ y resuelve el caso λ = 0. Indica qué significa el resultado para el plan semanal.
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Matriz y determinante. La matriz de coeficientes es M = [[1,1,λ],[1,λ,1],[λ,1,1]]. Desarrollando por la primera fila: det M = 1(λ·1 - 1·1) - 1(1·1 - 1·λ) + λ(1·1 - λ·λ) = (λ-1) - (1-λ) + λ(1-λ²) = 2λ - 2 + λ - λ³ = -λ³ + 3λ - 2. Factorizando: -λ³+3λ-2 = -(λ-1)²(λ+2). Comprobación: λ=1 da 0 y λ=-2 da 0; el signo se ajusta con el coeficiente principal. Por tanto:
- Si λ ≠ 1 y λ ≠ -2, det M ≠ 0 y el sistema es compatible determinado.
- Si λ = 1, las tres ecuaciones son x+y+z=3; hay infinitas soluciones (compatible indeterminado).
- Si λ = -2, sumando las tres ecuaciones se obtiene 0 = 9, contradicción; es incompatible. Caso λ=0. Queda x+y=3, x+z=3, y+z=3. De las dos primeras, y=z=3-x. Sustituyendo en la tercera: 2(3-x)=3, luego x=1,5, y=1,5, z=1,5. Es un plan único: 1,5 lotes de cada mezcla.
2. Para λ = 1, describe el conjunto solución y determina si existe un plan con x=0,5 e y=0,5. ¿Y con x=2 e y=2?
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Con λ=1 el sistema se reduce a x+y+z=3. El conjunto solución es {(x,y,z)=(x,y,3-x-y) : x≥0, y≥0, x+y≤3}. Para (x,y)=(0,5;0,5) se obtiene z=2, que es no negativo y cumple x+y=1≤3; sí existe plan factible. Para (x,y)=(2,2) resulta z=3-2-2=-1, imposible porque no se pueden producir lotes negativos. Por tanto, aunque el sistema tenga infinitas soluciones algebraicas, no todas son planes de producción válidos; la no negatividad recorta la región factible.
3. Justifica si λ = -2 puede compensarse aumentando las existencias de los tres recursos en la misma cantidad k>0.
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Si se aumenta cada existencia en k>0, el sistema pasa a tener términos independientes 3+k. Sumando las tres ecuaciones para λ=-2, el miembro izquierdo sigue siendo 0 porque los coeficientes de x, y, z suman 1+1-2=0 en cada columna; el miembro derecho suma 3(3+k)>0. Se obtiene 0=3(3+k), imposible para k>0. Aumentar por igual las existencias no corrige la incompatibilidad: habría que cambiar la estructura de consumo, no solo la cantidad.