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Balearic Islands PAU Mathematics II practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A (de orden 2×3) y B (de orden 3×4), ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 2×4 Correct answer.
  2. 3×4
  3. 2×3
  4. 4×2

Explanation

El producto A·B existe porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). El resultado hereda las filas de A y las columnas de B, es decir, orden 2×4.

Question 2Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. ¿Cuál de estas igualdades es siempre cierta?

  1. det(A²) = 2·det(A)
  2. det(2A) = 2·det(A)
  3. det(A + A) = 2·det(A)
  4. det(2A) = 8·det(A) Correct answer.

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, cada una de sus n filas queda multiplicada por k, de modo que det(kA) = k^n·det(A). Con n = 3 y k = 2 resulta det(2A) = 2³·det(A) = 8·det(A).

Question 3Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado con tres incógnitas, ¿qué relación cumplen los rangos de la matriz de coeficientes A y de la matriz ampliada A*?

  1. rg(A) < rg(A*)
  2. rg(A) = 3 y rg(A*) = 4
  3. rg(A) = 2 y rg(A*) = 3
  4. rg(A) = rg(A*) = 3 Correct answer.

Explanation

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si rg(A) = rg(A*) y es determinado si ese rango común iguala el número de incógnitas. Con tres incógnitas, ambos rangos deben valer 3.

Question 4Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad de orden 4, I₄?

  1. 16
  2. 0
  3. 4
  4. 1 Correct answer.

Explanation

La matriz identidad es triangular (diagonal con unos y ceros fuera), y el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal principal. El producto 1·1·1·1 vale 1, con independencia del orden.

Question 5Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada con det(A) = -3. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹)?

  1. 3
  2. 1/3
  3. -1/3 Correct answer.
  4. -3

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, tomando determinantes se obtiene det(A)·det(A⁻¹) = 1, luego det(A⁻¹) = 1/det(A). Con det(A) = -3 resulta det(A⁻¹) = -1/3.

Question 6Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

La matriz A = [[2, 1], [4, 2]] tiene determinante nulo. ¿Qué se deduce sobre su rango?

  1. No puede determinarse sin calcular la inversa
  2. rg(A) = 2, porque la matriz no es nula
  3. rg(A) = 0, porque el determinante es cero
  4. rg(A) = 1, porque las filas son proporcionales Correct answer.

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo hay una fila linealmente independiente y el rango es 1. Un determinante nulo en una matriz 2×2 no nula implica rango 1, nunca 0.

Question 7Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema homogéneo A·X = O con A de orden 3×3 y det(A) ≠ 0, ¿cuántas soluciones existen?

  1. Infinitas soluciones dependientes de un parámetro
  2. Solo la solución trivial X = O Correct answer.
  3. Exactamente dos soluciones
  4. Ninguna solución

Explanation

Un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial. Si det(A) ≠ 0 la matriz es regular, rg(A) = 3 coincide con el número de incógnitas y el sistema es determinado, por lo que la trivial es la única solución.

Question 8Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden con det(A) = 2 y det(B) = 5, ¿cuál es det(A·B)?

  1. 7
  2. 3
  3. 10 Correct answer.
  4. 2/5

Explanation

El determinante es multiplicativo respecto del producto de matrices: det(A·B) = det(A)·det(B). Por tanto, 2·5 = 10, sin importar el orden ni la conmutatividad del producto.

Question 9Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Al intercambiar entre sí dos filas de una matriz cuadrada A de orden 3, ¿qué le ocurre a su determinante?

  1. Se multiplica por 3
  2. No cambia
  3. Se anula siempre
  4. Cambia de signo Correct answer.

Explanation

El intercambio de dos filas es una operación elemental que invierte la orientación del determinante, de modo que el nuevo determinante es -det(A). Esta propiedad se usa al desarrollar por adjuntos y al aplicar Gauss.

Question 10Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [3, 4]]. ¿Cuál es la matriz adjunta de A, entendida como la traspuesta de la matriz de cofactores?

  1. [[-4, 2], [3, -1]]
  2. [[1, -2], [-3, 4]]
  3. [[4, -3], [-2, 1]]
  4. [[4, -2], [-3, 1]] Correct answer.

Explanation

Los cofactores son C₁₁ = 4, C₁₂ = -3, C₂₁ = -2 y C₂₂ = 1; la matriz de cofactores es [[4, -3], [-2, 1]] y su traspuesta, la adjunta, es [[4, -2], [-3, 1]]. Con det(A) = -2 se comprueba A⁻¹ = adj(A)/det(A).

Question 11Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Para qué valores del parámetro k el sistema {kx + y = 1; x + ky = 1} es compatible determinado?

  1. Para k ≠ 1 únicamente
  2. Para todo k real
  3. Para k ≠ 1 y k ≠ -1 Correct answer.
  4. Para k ≠ 0 únicamente

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es k² - 1, que se anula en k = 1 y k = -1. El sistema es compatible determinado exactamente cuando ese determinante es no nulo, es decir, para k ≠ 1 y k ≠ -1.

Question 12Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 4. Se forma la matriz B sumando a la fila 2 el triple de la fila 1. ¿Cuánto vale det(B)?

  1. 4 Correct answer.
  2. 7
  3. 12
  4. 0

Explanation

Sumar a una fila un múltiplo de otra es una operación elemental que no altera el determinante. Por eso det(B) = det(A) = 4, a diferencia de multiplicar una fila por un escalar, que sí modifica el valor.

Question 13Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[1, 2], [0, 3]], ¿cuál es el resultado de A² - 4A + 3I?

  1. [[1, 0], [0, 1]]
  2. [[3, 0], [0, 1]]
  3. [[0, 0], [0, 0]] Correct answer.
  4. [[0, 2], [0, 0]]

Explanation

El polinomio característico de A es λ² - 4λ + 3, pues traza(A) = 4 y det(A) = 3. Por el teorema de Cayley-Hamilton, toda matriz cuadrada anula su polinomio característico, luego A² - 4A + 3I = O.

Question 14Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la matriz ampliada tiene rango 3 y la de coeficientes rango 2. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible indeterminado con dos parámetros
  2. Compatible determinado
  3. Compatible indeterminado con un parámetro
  4. Incompatible Correct answer.

Explanation

Según Rouché-Frobenius, si rg(A) < rg(A*) el sistema es incompatible, porque alguna ecuación aporta información contradictoria con las demás. Aquí 2 < 3, así que no existe solución.

Question 15Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada de orden 4 con det(A) = 6, ¿cuánto vale det(-A)?

  1. 6 Correct answer.
  2. -24
  3. 24
  4. -6

Explanation

Se cumple det(kA) = k^n·det(A) con n = 4. Al ser k = -1 y el exponente par, (-1)⁴ = 1, de modo que det(-A) = 1·6 = 6: el signo no cambia en orden par.

Question 16Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 regular. ¿Cuál es el rango de su matriz traspuesta Aᵀ?

  1. 0
  2. 3 Correct answer.
  3. 2
  4. 1

Explanation

El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta, porque el rango por filas y por columnas es el mismo. Si A es regular, det(Aᵀ) = det(A) ≠ 0, luego Aᵀ también es regular y su rango es 3.

Question 17Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valor de k la matriz M = [[k, 1, 0], [1, k, 1], [0, 1, k]] es singular?

  1. Solo k = 0
  2. Para ningún valor real de k
  3. Para k = 0 y para k = ±√2 Correct answer.
  4. Solo k = 1

Explanation

Desarrollando, det(M) = k(k² - 1) - k = k³ - 2k = k(k² - 2). La matriz es singular cuando el determinante se anula, esto es, k = 0 o k = ±√2.

Question 18Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema {x + 2y + z = 3; 2x + 4y + 2z = 7}, ¿qué puede afirmarse?

  1. Es compatible indeterminado con dos parámetros
  2. Es compatible indeterminado con un parámetro
  3. Es incompatible Correct answer.
  4. Es compatible determinado

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera en el primer miembro, pero el término independiente 7 no es el doble de 3. Esta contradicción hace que rg(A) = 1 mientras rg(A*) = 2, luego el sistema es incompatible.

Question 19Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Si A y B son matrices invertibles de orden n, ¿cuál de estas expresiones es correcta?

  1. (A·B)⁻¹ = A⁻¹·B⁻¹
  2. (A + B)⁻¹ = A⁻¹ + B⁻¹
  3. (Aᵀ)⁻¹ = A⁻¹ᵀ invertida de nuevo
  4. (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ Correct answer.

Explanation

La inversa de un producto invierte también el orden de los factores: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹. Se comprueba multiplicando (A·B)·(B⁻¹·A⁻¹) = A·(B·B⁻¹)·A⁻¹ = I.

Question 20Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 2×2 con det(A) = 5. Se multiplica la primera fila por 2 y la segunda por 3. ¿Cuál es el determinante de la matriz resultante?

  1. 5
  2. 30 Correct answer.
  3. 10
  4. 15

Explanation

Multiplicar una fila por un escalar multiplica el determinante por ese escalar. Al hacerlo con dos filas, el factor total es 2·3 = 6, de modo que el nuevo determinante es 6·5 = 30.

Question 21Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz N = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]?

  1. 3
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo quedan dos filas candidatas a independientes: (1, 2, 3) y (1, 1, 1). Como no son proporcionales, el rango es 2.

Question 22Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 1], [0, 1]]. ¿Cuál es la forma de Aⁿ para n entero positivo?

  1. [[1, n], [0, 1]] Correct answer.
  2. [[1, 1], [0, n]]
  3. [[n, 0], [0, n]]
  4. [[n, n], [0, n]]

Explanation

Al multiplicar A por sí misma, el elemento superior derecho acumula la suma 1 + 1 = 2, y por inducción se obtiene Aⁿ = [[1, n], [0, 1]]. La estructura triangular con unos en la diagonal se conserva y solo crece la entrada (1,2).

Question 23Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

El sistema {x + y + z = a; x + 2y + 3z = b; x + 4y + 9z = c} tiene matriz de coeficientes con determinante 2. ¿Qué condición garantiza que sea compatible determinado para cualesquiera a, b, c?

  1. Que c - b + a = 0
  2. Que a + b + c = 0
  3. Ninguna condición adicional: siempre lo es Correct answer.
  4. Que a = b = c

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es 2 ≠ 0, luego rg(A) = 3, igual al número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado para cualquier término independiente, sin condiciones sobre a, b, c.

Question 24Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A³ = O (matriz nula). ¿Qué puede afirmarse sobre det(A)?

  1. det(A) = 1
  2. det(A) = -1
  3. det(A) puede ser cualquier real no nulo
  4. det(A) = 0 Correct answer.

Explanation

Tomando determinantes en A³ = O se obtiene (det A)³ = det(O) = 0, de donde det(A) = 0. Una matriz nilpotente es siempre singular, pues si fuera regular su potencia también lo sería y no podría anularse.

Question 25Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Se sabe que la matriz A de orden 3 tiene autovalores 1, 2 y 3. ¿Cuál es el valor de det(A² - 4A + 3I)?

  1. 6
  2. -6
  3. 24
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Si λ es autovalor de A, entonces λ² - 4λ + 3 lo es de A² - 4A + 3I. Evaluando en λ = 1 se obtiene 1 - 4 + 3 = 0, y el determinante es el producto de los autovalores de la matriz, que incluye un factor nulo.

Question 26Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = -2. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹)?

  1. 1/2
  2. -2
  3. -1/2 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Para toda matriz regular se cumple det(A⁻¹) = 1/det(A). Sustituyendo, det(A⁻¹) = 1/(-2) = -1/2, y el signo negativo se conserva porque el determinante de A es negativo.

Question 27Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2×3 y B una matriz de orden 3×4. ¿Cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 4×2
  2. 3×3
  3. 2×3
  4. 2×4 Correct answer.

Explanation

El producto A·B existe porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). La matriz resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, orden 2×4.

Question 28Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema de ecuaciones lineales {2x + 3y = 7; 4x + 6y = 14}, ¿qué tipo de sistema es?

  1. Compatible determinado
  2. Compatible indeterminado Correct answer.
  3. Homogéneo con solución única
  4. Incompatible

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, de modo que ambas representan la misma recta y el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada pero es menor que el número de incógnitas. Por ello existen infinitas soluciones y el sistema es compatible indeterminado.

Question 29Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[3, -1], [2, 5]]. ¿Cuál es la traza de A y cuál es su determinante, respectivamente?

  1. 8 y 17 Correct answer.
  2. 7 y 17
  3. 2 y 17
  4. 8 y 13

Explanation

La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal: 3 + 5 = 8. El determinante de una matriz 2×2 es ad - bc = 3·5 - (-1)·2 = 15 + 2 = 17.

Question 30Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada tal que A² = A y A no es la matriz nula, ¿qué valores puede tomar det(A)?

  1. Solo 1
  2. 0 o 1 Correct answer.
  3. Solo 0
  4. Cualquier número real

Explanation

Tomando determinantes en A² = A se obtiene (det A)² = det A, luego det A · (det A - 1) = 0. Las únicas soluciones son det A = 0 o det A = 1, y ambas son compatibles con matrices idempotentes no nulas.

Question 31Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes tiene rango 2, ¿cómo es el conjunto de soluciones?

  1. Tiene solución única no nula
  2. Tiene infinitas soluciones con un parámetro libre Correct answer.
  3. Es incompatible
  4. Solo admite la solución trivial

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque la solución nula siempre lo satisface. Al ser el rango 2 menor que el número de incógnitas (3), el número de parámetros libres es 3 - 2 = 1 y hay infinitas soluciones.

Question 32Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

¿Qué efecto tiene multiplicar una fila de una matriz cuadrada por un escalar λ no nulo sobre su determinante?

  1. El determinante queda multiplicado por λ Correct answer.
  2. El determinante queda multiplicado por λⁿ, siendo n el orden
  3. El determinante se anula siempre
  4. El determinante no cambia

Explanation

El determinante es lineal en cada fila por separado, de modo que extraer el factor λ de una sola fila multiplica el determinante por λ. Multiplicar toda la matriz por λ afectaría a las n filas y daría λⁿ.

Question 33Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [3, 4]]. ¿Cuál es el resultado de A²?

  1. [[7, 10], [15, 22]] Correct answer.
  2. [[5, 11], [11, 25]]
  3. [[7, 10], [12, 22]]
  4. [[1, 4], [9, 16]]

Explanation

Se multiplica fila por columna: primera fila (1·1 + 2·3, 1·2 + 2·4) = (7, 10); segunda fila (3·1 + 4·3, 3·2 + 4·4) = (15, 22). El producto no se obtiene elevando al cuadrado cada elemento.

Question 34Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 3. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 12
  2. 3
  3. 24 Correct answer.
  4. 6

Explanation

Al multiplicar toda la matriz de orden n por un escalar λ, cada una de las n filas queda multiplicada por λ, por lo que det(λA) = λⁿ·det(A). Aquí det(2A) = 2³·3 = 24.

Question 35Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[1, 0], [3, 1]], ¿qué relación existe entre A·B y B·A?

  1. B·A no existe porque las dimensiones no coinciden
  2. A·B y B·A son ambas la identidad
  3. A·B = B·A
  4. A·B ≠ B·A, por lo que el producto no es conmutativo Correct answer.

Explanation

Calculando, A·B = [[7, 2], [3, 1]] y B·A = [[1, 2], [3, 7]], que son distintas. El producto de matrices cuadradas del mismo orden existe siempre, pero en general no es conmutativo.

Question 36Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 cuyas filas son linealmente dependientes. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema A·X = B?

  1. Es siempre compatible determinado
  2. Nunca tiene solución
  3. Puede ser compatible indeterminado o incompatible según B Correct answer.
  4. Es siempre incompatible

Explanation

Si las filas son dependientes, det(A) = 0 y el rango de A es menor que 3, por lo que no puede haber solución única. Según el término independiente B, el sistema puede tener infinitas soluciones o ninguna, dependiendo de si el rango de la ampliada supera o no al de A.

Question 37Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A² = I. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. 0
  2. 1 o -1 Correct answer.
  3. 3
  4. Solo 1

Explanation

Tomando determinantes en A² = I resulta (det A)² = det(I) = 1, de donde det A = 1 o det A = -1. Ambas posibilidades son compatibles con matrices involutivas, como la identidad y la reflexión.

Question 38Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valores del parámetro a la matriz M = [[a, 2], [2, a]] es invertible?

  1. Solo para a = -2
  2. Solo para a = 2
  3. Para todo a distinto de 0
  4. Para todo a distinto de 2 y de -2 Correct answer.

Explanation

El determinante es a² - 4, que se anula cuando a = 2 o a = -2. La matriz es invertible exactamente cuando el determinante no es nulo, es decir, para a ≠ 2 y a ≠ -2.

Question 39Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 5. Se forma la matriz B permutando cíclicamente sus filas (la fila 1 pasa a la posición 2, la 2 a la 3 y la 3 a la 1). ¿Cuánto vale det(B)?

  1. 15
  2. -15
  3. 5 Correct answer.
  4. -5

Explanation

Una permutación cíclica de tres filas equivale a dos intercambios de filas, y cada intercambio cambia el signo del determinante. Dos cambios de signo lo dejan igual, de modo que det(B) = det(A) = 5.

Question 40Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema {x + y + z = 0; x - y + z = 0; x + z = 0}, ¿cuál es la solución?

  1. x = 0, y = 1, z = -1
  2. x = t, y = 0, z = -t para todo t
  3. x = 0, y = 0, z = 0 Correct answer.
  4. x = 1, y = 0, z = -1

Explanation

Restando la primera y la segunda ecuación se obtiene 2y = 0, luego y = 0. Sustituyendo en la primera, x + z = 0, que coincide con la tercera ecuación, de modo que el sistema se reduce a x = -z. Al ser homogéneo y de rango 2, tiene infinitas soluciones de la forma (t, 0, -t), incluida la trivial; la única opción con esa estructura completa es la trivial.

Question 41Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden n con det(A) = 0. ¿Qué se deduce sobre el sistema A·X = O (homogéneo)?

  1. No se puede determinar sin conocer A
  2. Tiene solo la solución trivial
  3. Es incompatible
  4. Tiene infinitas soluciones distintas de la trivial Correct answer.

Explanation

Un sistema homogéneo es siempre compatible porque X = O lo satisface. Si det(A) = 0, el rango de A es menor que n, de modo que existen parámetros libres y, por tanto, infinitas soluciones además de la trivial.

Question 42Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[2, 0], [0, 3]]. ¿Cuál es la matriz A⁻¹?

  1. [[2, 0], [0, 3]]
  2. [[-2, 0], [0, -3]]
  3. [[3, 0], [0, 2]]
  4. [[1/2, 0], [0, 1/3]] Correct answer.

Explanation

En una matriz diagonal, la inversa se obtiene invirtiendo cada elemento de la diagonal, siempre que ninguno sea nulo. Así, A⁻¹ = [[1/2, 0], [0, 1/3]], y se comprueba que A·A⁻¹ = I.

Question 43Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 2 y sea B la matriz que se obtiene sumando a la tercera fila de A el doble de la primera fila. ¿Cuál es el valor de det(B)?

  1. -2
  2. 0
  3. 4
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Sumar a una fila un múltiplo de otra fila es una operación elemental que no modifica el determinante. Por tanto, det(B) = det(A) = 2.

Question 44Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que verifica A² - 3A + 2I = O. ¿Cuál de las siguientes expresiones es válida para A⁻¹?

  1. A⁻¹ = (3I - A)/2 Correct answer.
  2. A⁻¹ = A - 3I
  3. A⁻¹ = (A - 3I)/2
  4. A⁻¹ = 2A - 3I

Explanation

De A² - 3A + 2I = O se despeja 2I = 3A - A² = A(3I - A). Multiplicando por A⁻¹ a la izquierda se obtiene 2A⁻¹ = 3I - A, es decir, A⁻¹ = (3I - A)/2.

Question 45Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 4 con det(A) = 1/2. ¿Cuál es el valor de det(adj(A)), donde adj(A) denota la matriz adjunta?

  1. 1/16
  2. 8
  3. 1/2
  4. 1/8 Correct answer.

Explanation

Para una matriz regular de orden n se cumple det(adj(A)) = det(A)^(n-1). Con n = 4 y det(A) = 1/2, resulta (1/2)³ = 1/8.

Question 46Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = -2. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹ + adj(A))? No es posible simplificar sin conocer A, así que calcule det(A·adj(A)) y det(A⁻¹).

  1. det(A·adj(A)) = 4 y det(A⁻¹) = 1/2
  2. det(A·adj(A)) = -8 y det(A⁻¹) = -1/2 Correct answer.
  3. det(A·adj(A)) = -2 y det(A⁻¹) = -2
  4. det(A·adj(A)) = 8 y det(A⁻¹) = 1/2

Explanation

La identidad A·adj(A) = det(A)·I implica det(A·adj(A)) = det(A)³ = (-2)³ = -8. Por otra parte, det(A⁻¹) = 1/det(A) = -1/2, conservando el signo negativo.

Question 47Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 cuyos autovalores son 1, -1 y 2. ¿Cuál es el valor de det(A² + A)?

  1. -6
  2. 0 Correct answer.
  3. 12
  4. 6

Explanation

Los autovalores de A² + A son λ² + λ para cada autovalor λ de A, y el determinante es su producto. Evaluando: para λ = 1, 2; para λ = -1, 0; para λ = 2, 6. El producto 2·0·6 = 0.

Question 48Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 tal que A³ = O y A² ≠ O. ¿Cuál es el rango máximo posible de A?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. 3

Explanation

Si A³ = O, todos los autovalores de A son 0 y su determinante es nulo, por lo que el rango es como mucho 2. Además, A² ≠ O exige que el rango sea al menos 2, ya que con rango 1 se tendría A² = O en una matriz nilpotente de índice 3. Por tanto, el rango máximo es 2.

Question 49Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 4. Se construye la matriz B cuyas columnas son, respectivamente, la columna 1 de A, la columna 2 de A y la suma de las columnas 1 y 3 de A. ¿Cuál es el valor de det(B)?

  1. 12
  2. 0
  3. 4 Correct answer.
  4. 8

Explanation

El determinante es lineal en cada columna por separado, así que det(B) = det(A) + det(A con la columna 3 sustituida por la columna 1). En este segundo determinante dos columnas son iguales, por lo que vale 0, y queda det(B) = det(A) = 4.

Question 50Linear algebra: matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2 con det(A) = 3 y sea B = A² - 2A + I. Sabiendo que la traza de A es 4, ¿cuál es el valor de det(B)?

  1. 0 Correct answer.
  2. 9
  3. 1
  4. 3

Explanation

Los autovalores de A satisfacen λ₁ + λ₂ = 4 y λ₁λ₂ = 3, luego son 1 y 3. Los autovalores de B son f(λ) = λ² - 2λ + 1 = (λ - 1)², que valen 0 y 4. El determinante es el producto 0·4 = 0.