Álgebra lineal: matrices, determinantes y sistemas
El bloque de álgebra lineal de la PAU de las Illes Balears evalúa el manejo operativo de matrices y determinantes y, sobre todo, la discusión y resolución de sistemas con parámetro: es donde más puntos se pierden por no estructurar la respuesta.
Matrices y rango
- El producto no es conmutativo (AB ≠ BA) y solo existe si el número de columnas de A coincide con el de filas de B.
- La inversa se obtiene con (A|I) → (I|A⁻¹) o con la adjunta: A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A); solo existe si det(A) ≠ 0.
- El rango es el orden del mayor menor no nulo y también el número de filas no nulas al escalonar.
Determinantes
- det(AB) = det(A)·det(B); det(kA) = kⁿ·det(A) en orden n; det(A⁻¹) = 1/det(A); intercambiar dos filas cambia el signo. Si una fila es combinación lineal de las demás, el determinante es 0.
Sistemas y discusión
Rouché–Frobenius: si r(A) ≠ r(A*), incompatible; si r(A) = r(A*) = n, compatible determinado; si r(A) = r(A*) < n, compatible indeterminado con n − r parámetros. Con parámetros, el orden correcto es calcular det(A), localizar los valores que lo anulan y estudiar cada caso en la matriz ampliada. Cramer solo vale si det(A) ≠ 0: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A).
Ejemplo resuelto
Resolver AX = B con A = [[1,2],[1,3]] y B = [[3,5],[4,7]]. det(A) = 3 − 2 = 1 ≠ 0, luego A⁻¹ = [[3,−2],[−1,1]]. Multiplicando por la izquierda: X = A⁻¹B = [[9−8, 15−14],[−3+4, −5+7]] = [[1,1],[1,2]]. Comprobación: A·X = [[1+2, 1+4],[1+3, 1+6]] = [[3,5],[4,7]] = B. Si la ecuación fuera XA = B habría que multiplicar por la derecha y el resultado cambiaría.
Errores que cuestan puntos
- Calcular A⁻¹ sin comprobar antes el determinante.
- Usar Cramer cuando det(A) = 0.
- Escribir «indeterminado» sin dar la solución paramétrica.
- Confundir el rango de A con el de la ampliada.
- Multiplicar por A⁻¹ por el lado equivocado.