Geometría analítica en el espacio
La geometría analítica en el espacio exige combinar vectores, ecuaciones de rectas y planos y las fórmulas de ángulos y distancias; en la PAU suele aparecer un problema con varios apartados encadenados.
Vectores
- Producto escalar: u·v = |u||v|cos θ; es 0 si y solo si son perpendiculares.
- Producto vectorial: u×v es perpendicular a ambos y |u×v| es el área del paralelogramo que determinan.
- Producto mixto [u,v,w] = u·(v×w): su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo; los tres vectores son coplanarios si vale 0.
Rectas y planos
- Recta: (x,y,z) = P + t·v, o intersección de dos planos.
- Plano: Ax + By + Cz + D = 0, con normal n = (A,B,C). Para el plano por tres puntos, se calculan dos vectores y su producto vectorial.
- Posiciones relativas: se discute el sistema formado por las ecuaciones; recta y plano se resuelven sustituyendo la recta en el plano (un valor de t: secantes; ninguno: paralelos; identidad: recta contenida).
Ángulos y distancias
- Ángulo entre planos: el de sus normales; entre rectas: el de sus vectores directores; entre recta y plano: 90° menos el ángulo entre recta y normal. Se da siempre el agudo.
- Distancia punto-plano: |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²). Punto-recta: |v×AP|/|v|. Rectas que se cruzan: |[v₁,v₂,AP]|/|v₁×v₂|.
- Área del triángulo = ½|u×v|; volumen del tetraedro = (1/6)|[u,v,w]|.
Ejemplo resuelto
Distancia de P(1,0,2) al plano 2x − y + 2z − 3 = 0: numerador |2·1 − 0 + 2·2 − 3| = 3; denominador √(4+1+4) = 3; distancia = 1. El punto del plano más próximo a P se obtiene restando a P el vector normal unitario multiplicado por esa distancia.
Errores que cuestan puntos
- No normalizar la normal al calcular distancias.
- Usar la normal del plano como vector director de una recta cuando la recta es perpendicular al plano.
- Dar un ángulo obtuso en lugar del agudo.
- Mezclar la fórmula de distancia punto-recta con la de punto-plano.
- Olvidar el valor absoluto y obtener distancias negativas.