Probabilidad y estadística: combinatoria, distribuciones e inferencia
Este bloque de la PAU encadena combinatoria, probabilidad condicionada, distribuciones binomial y normal e inferencia: intervalo de confianza para la media y tamaño de la muestra. Los enunciados suelen dar los datos en forma de contexto real.
Combinatoria y probabilidad
- Variaciones, permutaciones y combinaciones, con o sin repetición; distingue si importa el orden y si hay reemplazamiento.
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Independientes: P(A∩B) = P(A)·P(B). Condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
- Probabilidad total y teorema de Bayes para problemas con dos etapas.
Binomial y normal
- B(n,p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ, con media np y desviación típica √(npq).
- N(μ,σ): se tipifica z = (x − μ)/σ y se usa la simetría y la tabla de la normal estándar.
- Aproximación binomial → normal si np > 5 y nq > 5, con corrección de continuidad de ±0,5.
Inferencia
- La media muestral se distribuye como N(μ, σ/√n) (teorema central del límite).
- Intervalo de confianza para la media: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n, con z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %) y 2,576 (99 %).
- Error máximo E = z·σ/√n; tamaño de muestra n = (zσ/E)², redondeando hacia arriba.
- Para una proporción: p̂ ± z·√(p̂q̂/n).
Ejemplo resuelto
Con n = 100, x̄ = 72 y σ = 10, el intervalo al 95 % es 72 ± 1,96·(10/10) = 72 ± 1,96, es decir (70,04; 73,96). La interpretación correcta es que el procedimiento de construcción captura μ en el 95 % de las muestras, no que el 95 % de las medias esté en ese intervalo concreto.
Errores que cuestan puntos
- Usar σ en lugar de σ/√n en el error típico.
- Redondear el tamaño de muestra hacia abajo.
- Omitir la corrección por continuidad al aproximar la binomial.
- Confundir P(A|B) con P(B|A).
- Suponer independencia porque los sucesos sean incompatibles.
- Aplicar la normal cuando np o nq es menor que 5.