Producción de menús con disponibilidad variable de verdura
Una empresa de catering prepara tres menús semanales, M1, M2 y M3, para un evento deportivo. Cada menú consume unidades de tres ingredientes básicos (arroz, pollo y verdura) según la matriz A = [[2,1,1],[1,2,0],[1,1,2]], donde las filas son los ingredientes y las columnas los menús. La empresa dispone semanalmente de 80 unidades de arroz, 50 de pollo y 85 de verdura. Por una cláusula de almacenamiento, la disponibilidad de verdura puede variar y se denota por k, mientras que las otras dos disponibilidades permanecen fijas. El gerente necesita saber cuántos menús de cada tipo puede preparar con los recursos actuales y cómo cambia la producción si la verdura disponible pasa a 95 unidades. Además, quiere comprobar si una disponibilidad de verdura de solo 5 unidades haría inviable el plan con cantidades no negativas. Se pide plantear el sistema matricial, resolverlo y discutir la compatibilidad según k, interpretando los resultados en el contexto del catering.
1. Escribe el sistema en forma matricial y resuélvelo para k=85. Comprueba e interpreta la solución.
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La matriz de consumos es A = [[2,1,1],[1,2,0],[1,1,2]] y el vector de disponibilidades es b = (80,50,85). El sistema es A·(x,y,z)^T = b^T, es decir: 2x+y+z=80; x+2y=50; x+y+2z=85. El determinante es |A| = 2(4-0)-1(2-0)+1(1-2)=8-2-1=5 ≠ 0, luego hay solución única. Resolviendo: de la segunda, x=50-2y. Sustituyendo en la primera: 100-4y+y+z=80, de donde z=3y-20. En la tercera: 50-2y+y+2(3y-20)=85 -> 10+5y=85 -> y=15. Entonces x=20 y z=25. Comprobación: 2·20+15+25=80; 20+30=50; 20+15+50=85. Interpretación: 20 menús M1, 15 M2 y 25 M3.
2. Estudia para qué valores de k el sistema es compatible determinado y resuelve para k=95. ¿Qué ocurre si k=5?
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Como |A|=5≠0 para cualquier k, el sistema es siempre compatible determinado. Resolviendo con b=(80,50,k) se obtiene y=(k-10)/5, x=(270-2k)/5, z=(3k-130)/5. Para k=95: y=17, x=16, z=31; es decir, 16 M1, 17 M2 y 31 M3. Para k=5: y=-1, z=-23, x=52; aunque x sea positiva, hay cantidades negativas, que no tienen sentido en producción. Por tanto, con k=5 no existe plan factible con cantidades no negativas, aunque matemáticamente el sistema tenga solución única.
3. Si el coste por menú es 10 € para M1, 12 € para M2 y 15 € para M3, calcula el coste total con k=85 y con k=95. ¿Qué conclusión práctica extraes?
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Coste = 10x+12y+15z. Con k=85: 10·20+12·15+15·25=200+180+375=755 €. Con k=95: 10·16+12·17+15·31=160+204+465=829 €. Aunque aumenta la disponibilidad de verdura, el sistema obliga a cambiar la combinación de menús y el coste total sube 74 €; no basta con producir más, hay que valorar si el ingreso adicional compensa ese coste.