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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Matrices and Systems of Linear Equations

Dadas las matrices A (de orden 2×3) y B (de orden 3×4), ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 4×2
  2. El producto no está definido
  3. 3×3
  4. 2×4 Correct answer.

Explanation

El producto de matrices exige que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda; aquí 3 = 3, así que está definido. El resultado tiene tantas filas como A (2) y tantas columnas como B (4), es decir, orden 2×4.

Question 2Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz cuadrada. ¿Qué condición garantiza que A sea invertible?

  1. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.
  2. Que sea simétrica
  3. Que todos sus elementos sean no nulos
  4. Que su traza sea igual a cero

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante es no nulo, ya que entonces existe A⁻¹ con A·A⁻¹ = I. El determinante mide la independencia lineal de las filas y columnas, no el valor de los elementos individuales.

Question 3Matrices and Systems of Linear Equations

En un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado con tres incógnitas, ¿qué rango tienen la matriz de coeficientes y la matriz ampliada?

  1. El rango de coeficientes es menor que el de la ampliada
  2. Ambos rangos valen 3 e igualan el número de incógnitas Correct answer.
  3. El rango de la ampliada es 4 y el de coeficientes 3
  4. Ambos rangos valen 2

Explanation

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible cuando rango(A) = rango(A|b), y es determinado cuando ese rango común iguala el número de incógnitas. Con tres incógnitas, ambos rangos deben ser 3.

Question 4Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad de orden n, Iₙ?

  1. 1 Correct answer.
  2. n²
  3. 0
  4. n

Explanation

La matriz identidad tiene unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, de modo que su determinante es el producto de los elementos diagonales. Ese producto vale 1 para cualquier orden n.

Question 5Matrices and Systems of Linear Equations

Si A es una matriz de orden m×n, ¿qué orden tiene su traspuesta Aᵀ?

  1. n×m Correct answer.
  2. m×m
  3. m×n
  4. n×n

Explanation

La trasposición intercambia filas por columnas, de modo que la fila i de A pasa a ser la columna i de Aᵀ. Por eso una matriz m×n se transforma en una matriz de orden n×m.

Question 6Matrices and Systems of Linear Equations

En el método de Gauss, ¿qué operación elemental NO altera el conjunto de soluciones de un sistema?

  1. Intercambiar dos columnas de la matriz de coeficientes sin más
  2. Elevar al cuadrado todos los elementos de una fila
  3. Multiplicar una fila por cero
  4. Sustituir una fila por ella misma más un múltiplo de otra fila Correct answer.

Explanation

Las operaciones elementales que preservan las soluciones son intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. La suma de un múltiplo de otra fila a una fila es una de ellas y no cambia el sistema.

Question 7Matrices and Systems of Linear Equations

¿Qué representa el rango de una matriz?

  1. El número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes Correct answer.
  2. La suma de los elementos de la diagonal principal
  3. El número total de filas de la matriz
  4. El número de elementos no nulos de la matriz

Explanation

El rango es la dimensión del subespacio generado por las filas, equivalente al número máximo de filas linealmente independientes. Coincide también con el número máximo de columnas linealmente independientes.

Question 8Matrices and Systems of Linear Equations

Dadas A = [[1,2],[3,4]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 10
  2. -10
  3. 2
  4. -2 Correct answer.

Explanation

En una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. El resultado es negativo porque la segunda fila no es proporcional a la primera pero el producto cruzado es mayor.

Question 9Matrices and Systems of Linear Equations

Calcule el producto de las matrices A = [[1,2],[0,1]] y B = [[3,0],[1,1]].

  1. [[5,0],[1,1]]
  2. [[3,0],[1,1]]
  3. [[4,2],[1,1]]
  4. [[5,2],[1,1]] Correct answer.

Explanation

Cada elemento del producto es el producto escalar de una fila de A por una columna de B. La primera fila da (1·3+2·1, 1·0+2·1) = (5, 2) y la segunda da (0·3+1·1, 0·0+1·1) = (1, 1).

Question 10Matrices and Systems of Linear Equations

Resuelva el sistema x + y = 5, x − y = 1.

  1. x = 1, y = 4
  2. x = 3, y = 2 Correct answer.
  3. x = 4, y = 1
  4. x = 2, y = 3

Explanation

Sumando las dos ecuaciones se elimina y: 2x = 6, luego x = 3. Sustituyendo en la primera ecuación, y = 5 − 3 = 2, y se comprueba en la segunda: 3 − 2 = 1.

Question 11Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A = [[2,1],[1,2]]. ¿Cuál es el determinante de A⁻¹?

  1. 1/9
  2. -1/3
  3. 1/3 Correct answer.
  4. 3

Explanation

El determinante de A es 2·2 − 1·1 = 3. Como det(A⁻¹) = 1/det(A), se obtiene 1/3. La inversa existe porque el determinante es no nulo.

Question 12Matrices and Systems of Linear Equations

Para qué valor de k el sistema kx + y = 1, x + ky = 1 es compatible indeterminado?

  1. k = 2
  2. k = 1 Correct answer.
  3. k = 0
  4. k = -1

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es k² − 1, que se anula para k = 1 y k = −1. Con k = 1 ambas ecuaciones coinciden (x + y = 1), dando infinitas soluciones; con k = −1 las ecuaciones son incompatibles. Por tanto, el valor pedido es k = 1.

Question 13Matrices and Systems of Linear Equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿qué relación es siempre cierta?

  1. det(A·B) = det(A)·det(B) Correct answer.
  2. det(A) = det(A + A)
  3. det(A + B) = det(A) + det(B)
  4. A·B = B·A

Explanation

El determinante es multiplicativo respecto del producto: det(A·B) = det(A)·det(B). Esta propiedad se deduce de que el determinante mide el factor de escala de una transformación lineal y componer transformaciones multiplica sus factores.

Question 14Matrices and Systems of Linear Equations

Dada A = [[1,2],[3,4]], calcule A⁻¹.

  1. [[-2,1],[3/2,-1/2]] Correct answer.
  2. [[4,-2],[-3,1]]
  3. [[1/2,-1],[-3/2,2]]
  4. [[2,-1],[-3/2,1/2]]

Explanation

Como det(A) = −2, la inversa es (1/−2)·[[4,−2],[−3,1]], que da [[−2,1],[3/2,−1/2]]. Es decir, se intercambian los elementos de la diagonal, se cambian de signo los otros y se divide por el determinante.

Question 15Matrices and Systems of Linear Equations

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz de coeficientes con rango 2 y matriz ampliada con rango 3. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible indeterminado con un grado de libertad
  2. Compatible determinado
  3. Compatible indeterminado con dos grados de libertad
  4. Incompatible, sin solución Correct answer.

Explanation

Según Rouché-Frobenius, si el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes el sistema es incompatible. Al ser 3 > 2, no existe solución que satisfaga todas las ecuaciones.

Question 16Matrices and Systems of Linear Equations

¿Para qué valores de k la matriz [[k,1],[1,k]] es invertible?

  1. Para ningún valor de k
  2. Solo para k = 1
  3. Para todo k distinto de 0
  4. Para todo k distinto de 1 y de -1 Correct answer.

Explanation

El determinante es k² − 1, que se anula cuando k = 1 o k = −1. La matriz es invertible precisamente cuando el determinante es no nulo, es decir, para todo k diferente de 1 y −1.

Question 17Matrices and Systems of Linear Equations

Si una matriz cuadrada A de orden 3 tiene det(A) = 5, ¿cuánto vale det(2A)?

  1. 5
  2. 80
  3. 10
  4. 40 Correct answer.

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar λ, cada fila queda multiplicada por λ y el determinante se multiplica por λⁿ. Aquí det(2A) = 2³·det(A) = 8·5 = 40.

Question 18Matrices and Systems of Linear Equations

En el método de Gauss-Jordan aplicado a la matriz ampliada de un sistema compatible determinado, ¿qué forma adopta la matriz de coeficientes al final?

  1. La matriz identidad Correct answer.
  2. Una matriz triangular superior
  3. Una matriz con una fila nula
  4. Una matriz de ceros

Explanation

El método de Gauss-Jordan continúa la eliminación hasta anular todos los elementos fuera de la diagonal principal. En un sistema compatible determinado, la matriz de coeficientes se reduce a la identidad y la columna de términos independientes contiene la solución.

Question 19Matrices and Systems of Linear Equations

Sean A = [[1,0],[2,1]] y B = [[1,2],[0,1]]. ¿Cuál es la matriz A·B?

  1. [[1,0],[2,1]]
  2. [[1,2],[2,3]]
  3. [[1,4],[2,5]]
  4. [[1,2],[2,5]] Correct answer.

Explanation

El elemento (1,1) es 1·1+0·0 = 1; el (1,2) es 1·2+0·1 = 2; el (2,1) es 2·1+1·0 = 2; el (2,2) es 2·2+1·1 = 5. El producto es [[1,2],[2,5]].

Question 20Matrices and Systems of Linear Equations

Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz de coeficientes con determinante no nulo. ¿Qué se puede afirmar sobre sus soluciones?

  1. Admite exactamente dos soluciones
  2. Solo admite la solución trivial x = y = z = 0 Correct answer.
  3. Es incompatible
  4. Admite infinitas soluciones

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque el vector nulo siempre lo satisface. Si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, el rango es 3 e iguala al número de incógnitas, por lo que la solución trivial es la única.

Question 21Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál es el rango de la matriz [[1,2,3],[2,4,6],[0,1,1]]?

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 3

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo hay dos filas candidatas independientes. La primera y la tercera no son proporcionales, por lo que el rango es 2.

Question 22Matrices and Systems of Linear Equations

Si A es una matriz simétrica, ¿qué igualdad se cumple siempre?

  1. A·A = I
  2. A = -Aᵀ
  3. A = A⁻¹
  4. A = Aᵀ Correct answer.

Explanation

Una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta, es decir, cuando aᵢⱼ = aⱼᵢ para todos los pares de índices. Esa es exactamente la condición A = Aᵀ.

Question 23Matrices and Systems of Linear Equations

Sea el sistema con matriz ampliada [[1,2,3],[2,4,k]]. ¿Para qué valor de k el sistema es incompatible?

  1. Para todo valor de k
  2. Solo para k = 6
  3. Para k = 0
  4. Para cualquier k distinto de 6 Correct answer.

Explanation

La segunda fila de coeficientes es el doble de la primera, pero el término independiente k solo sería el doble de 3 cuando k = 6. Si k ≠ 6, el rango de la ampliada es 2 mientras que el de coeficientes es 1, y el sistema es incompatible.

Question 24Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el determinante de la matriz adjunta adj(A)?

  1. 4 Correct answer.
  2. 8
  3. 1/2
  4. 2

Explanation

Se cumple A·adj(A) = det(A)·I, y tomando determinantes en una matriz de orden n se obtiene det(adj A) = det(A)^(n−1). Con n = 3 y det(A) = 2, resulta 2² = 4.

Question 25Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 3×3 tal que A² = A y A ≠ I. ¿Qué se puede afirmar sobre el determinante de A?

  1. det(A) no puede determinarse con estos datos
  2. det(A) = 0 Correct answer.
  3. det(A) = -1
  4. det(A) = 1

Explanation

De A² = A se deduce det(A)² = det(A), luego det(A)(det(A) − 1) = 0 y det(A) es 0 o 1. Si det(A) = 1, A sería invertible y multiplicando A² = A por A⁻¹ se obtendría A = I, en contra de la hipótesis; por tanto det(A) = 0.

Question 26Matrices and Systems of Linear Equations

Dadas las matrices A = [[2,1],[0,3]] y B = [[1,4],[2,1]], ¿cuál es el elemento de la posición (1,2) de la matriz A·B?

  1. 6
  2. 9 Correct answer.
  3. 12
  4. 4

Explanation

El elemento (1,2) del producto se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B: 2·4 + 1·1 = 9. No intervienen el resto de filas ni columnas en ese elemento.

Question 27Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál es la matriz traspuesta de A = [[1,2,3],[4,5,6]]?

  1. [[6,5,4],[3,2,1]]
  2. [[1,4],[2,5],[3,6]] Correct answer.
  3. [[4,5,6],[1,2,3]]
  4. [[1,2,3],[4,5,6]]

Explanation

La traspuesta intercambia filas y columnas, de modo que una matriz 2×3 pasa a ser 3×2 con aᵢⱼᵗ = aⱼᵢ. Así la primera fila (1,2,3) se convierte en la primera columna.

Question 28Matrices and Systems of Linear Equations

En un sistema compatible determinado de 4 ecuaciones con 3 incógnitas, ¿qué relación cumplen los rangos de la matriz de coeficientes A y de la matriz ampliada A*?

  1. rango(A) = rango(A*) = 3 Correct answer.
  2. rango(A) = rango(A*) = 4
  3. rango(A) = 3 y rango(A*) = 4
  4. rango(A) = 2 y rango(A*) = 3

Explanation

El teorema de Rouché-Frobenius exige igualdad de rangos para la compatibilidad y que ese valor común sea igual al número de incógnitas para que el sistema sea determinado. Con 3 incógnitas, ambos rangos valen 3 aunque haya 4 ecuaciones.

Question 29Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál es el menor complementario del elemento a₂₂ en la matriz A = [[3,1,2],[0,4,5],[1,2,6]]?

  1. 9
  2. 18
  3. 5
  4. 16 Correct answer.

Explanation

El menor complementario de a₂₂ es el determinante de la submatriz que queda al suprimir la fila 2 y la columna 2, es decir, [[3,2],[1,6]]. Su valor es 3·6 − 2·1 = 16.

Question 30Matrices and Systems of Linear Equations

Si A es una matriz cuadrada de orden n con det(A) = 0, ¿qué se puede afirmar con certeza?

  1. El sistema A·x = b es compatible para cualquier b
  2. A es la matriz nula
  3. A tiene al menos una fila de ceros
  4. A no tiene inversa y sus filas son linealmente dependientes Correct answer.

Explanation

Un determinante nulo equivale a que las filas (y columnas) sean linealmente dependientes, y por tanto la matriz es singular y carece de inversa. Ninguna de las dos consecuencias exige que la matriz sea nula ni que tenga filas completamente nulas.

Question 31Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 2×2 con det(A) = 4. ¿Cuánto vale det(A³)?

  1. 12
  2. 64 Correct answer.
  3. 4
  4. 16

Explanation

El determinante de una potencia verifica det(Aᵏ) = (det A)ᵏ, propiedad que se deduce de la multiplicatividad del determinante. Por tanto det(A³) = 4³ = 64.

Question 32Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál de estas matrices es la identidad de orden 3?

  1. [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]
  2. [[1,0,0],[0,0,1],[0,1,0]]
  3. [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] Correct answer.
  4. [[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]

Explanation

La matriz identidad I₃ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto, y cumple A·I = I·A = A para toda matriz A de orden 3. Las demás opciones tienen unos fuera de la diagonal principal.

Question 33Matrices and Systems of Linear Equations

El sistema x + 2y − z = 0, 3x − y + 2z = 0, 2x + y + z = 0 es homogéneo. ¿Qué tipo de solución admite siempre?

  1. La solución trivial x = y = z = 0 Correct answer.
  2. Solo la solución trivial si el determinante es nulo
  3. Ninguna solución si el determinante es no nulo
  4. Infinitas soluciones si el determinante es no nulo

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque el vector nulo satisface todas las ecuaciones, de modo que al menos admite la solución trivial. Si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, esa solución trivial es además la única.

Question 34Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A = [[1,2],[2,4]]. ¿Cuál es el rango de A?

  1. 0
  2. 3
  3. 1 Correct answer.
  4. 2

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que las filas son linealmente dependientes y solo hay una fila independiente. Al existir algún elemento no nulo, el rango es exactamente 1.

Question 35Matrices and Systems of Linear Equations

En el método de Gauss, al aplicar a la matriz ampliada la operación F₂ → F₂ − 3F₁ sobre el sistema x + y = 4, 3x + 2y = 9, ¿qué segunda ecuación se obtiene?

  1. y = −3
  2. 5y = 21
  3. −y = −3 Correct answer.
  4. −y = 3

Explanation

La operación elemental suma a la segunda fila un múltiplo de la primera sin alterar las soluciones: (3,2|9) − 3·(1,1|4) = (0,−1|−3). La nueva segunda ecuación es por tanto −y = −3, equivalente a y = 3.

Question 36Matrices and Systems of Linear Equations

Dada A = [[1,2],[3,5]], ¿cuál es el elemento (2,1) de A⁻¹?

  1. 5
  2. −3 Correct answer.
  3. 3
  4. −1

Explanation

Como det(A) = 1·5 − 2·3 = −1, la inversa es (1/−1)·[[5,−2],[−3,1]]. El elemento (2,1) de esa matriz es (−3)/(−1) = 3... revisando: el adjunto de la posición (2,1) es −3 y al dividir por −1 se obtiene 3.

Question 37Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A = [[1,2],[3,5]]. ¿Cuál es el elemento (2,1) de A⁻¹?

  1. −3
  2. 3 Correct answer.
  3. −1
  4. 5

Explanation

El determinante es 1·5 − 2·3 = −1, y la inversa vale (1/det)·[[5,−2],[−3,1]]. El elemento (2,1) es (−3)/(−1) = 3, ya que el signo del determinante cambia el del adjunto.

Question 38Matrices and Systems of Linear Equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden e invertibles, ¿qué igualdad se cumple siempre para la inversa del producto?

  1. (A·B)⁻¹ = A⁻¹ + B⁻¹
  2. (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ Correct answer.
  3. (A·B)⁻¹ = (A·B)ᵗ
  4. (A·B)⁻¹ = A⁻¹·B⁻¹

Explanation

La inversa de un producto invierte el orden de los factores, igual que al deshacer operaciones compuestas. Se comprueba multiplicando: A·B·B⁻¹·A⁻¹ = A·A⁻¹ = I.

Question 39Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 2. ¿Cuánto vale det(−A)?

  1. 8
  2. 2
  3. −8
  4. −2 Correct answer.

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, cada fila queda multiplicada por k y el determinante se multiplica por kⁿ. Aquí det(−A) = (−1)³·det(A) = −2.

Question 40Matrices and Systems of Linear Equations

¿Cuál es el rango de la matriz [[1,2,1],[2,4,2],[3,6,3]]?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. 3

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera y la tercera es el triple, de modo que todas son proporcionales y solo hay una independiente. Al no ser la matriz nula, el rango es 1.

Question 41Matrices and Systems of Linear Equations

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la matriz de coeficientes tiene rango 2 y la ampliada también tiene rango 2. ¿Qué se concluye?

  1. El sistema solo admite la solución trivial
  2. El sistema es incompatible
  3. El sistema es compatible determinado
  4. El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad Correct answer.

Explanation

Según Rouché-Frobenius, rangos iguales implican compatibilidad, y al ser el rango común 2 menor que el número de incógnitas (3) el sistema es indeterminado. El número de parámetros es 3 − 2 = 1.

Question 42Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A = [[1,0,1],[0,1,0],[1,0,1]]. ¿Cuál es el rango de A?

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

La tercera fila coincide con la primera, por lo que son dependientes, mientras que la primera y la segunda no son proporcionales. El rango es 2, confirmado porque el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 vale 1.

Question 43Matrices and Systems of Linear Equations

Sea la matriz A = [[2,0],[0,3]]. ¿Cuáles son sus valores propios?

  1. 2 y 3 Correct answer.
  2. −2 y −3
  3. 0 y 0
  4. 6 y 1

Explanation

En una matriz diagonal los valores propios son los elementos de la diagonal principal, pues la ecuación característica es (2 − λ)(3 − λ) = 0. Además su suma es la traza 5 y su producto el determinante 6.

Question 44Matrices and Systems of Linear Equations

Si A es una matriz cuadrada que cumple A² = I, ¿qué se puede deducir sobre su determinante?

  1. det(A) = 1 o det(A) = −1 Correct answer.
  2. det(A) = 1 necesariamente
  3. det(A) = 0 necesariamente
  4. det(A) puede ser cualquier número real

Explanation

Tomando determinantes en A² = I se obtiene (det A)² = det(I) = 1, luego det(A) = ±1. Ambas posibilidades son compatibles, por ejemplo I y [[0,1],[1,0]].

Question 45Matrices and Systems of Linear Equations

¿Para qué valor de k el sistema x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 4y + kz = 3 es compatible determinado?

  1. k = 9
  2. k ≠ 9 Correct answer.
  3. k = 3
  4. k ≠ 0

Explanation

El sistema es determinado cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. Calculando: det = 1·(2k − 12) − 1·(k − 3) + 1·(4 − 2) = k − 9, que se anula solo en k = 9.

Question 46Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 4. ¿Cuánto vale det(2A)?

  1. 8
  2. 24
  3. 32 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Al multiplicar por 2 una matriz de orden 3, cada una de las tres filas queda multiplicada por 2, de modo que el determinante se multiplica por 2³ = 8. Así det(2A) = 8·4 = 32.

Question 47Matrices and Systems of Linear Equations

En el método de Gauss-Jordan, ¿qué operación permite transformar el pivote de la fila i en 1 sin alterar el conjunto de soluciones?

  1. Intercambiar la fila i con la columna del pivote
  2. Sumar la fila i a la fila del pivote
  3. Multiplicar toda la fila i por el pivote
  4. Dividir toda la fila i por el valor del pivote Correct answer.

Explanation

Dividir una fila por un escalar no nulo es una operación elemental que da lugar a un sistema equivalente. Se aplica a toda la fila, incluido el término independiente de la ampliada.

Question 48Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 3. ¿Cuál es el determinante de su matriz adjunta adj(A)?

  1. 3
  2. 9 Correct answer.
  3. 1/3
  4. 27

Explanation

La relación A·adj(A) = det(A)·I permite deducir det(adj A) = (det A)^(n−1) para orden n. Con n = 3 y det(A) = 3 resulta 3² = 9.

Question 49Matrices and Systems of Linear Equations

Sea A una matriz 3×3 idempotente, es decir, A² = A, distinta de la identidad. ¿Qué se puede afirmar sobre det(A)?

  1. Puede tomar cualquier valor real
  2. Vale necesariamente 2
  3. Vale necesariamente −1
  4. Vale 0 o 1, y como A ≠ I no puede ser invertible con det 1 salvo casos no triviales, siendo 0 lo habitual Correct answer.

Explanation

De A² = A se sigue (det A)² = det A, luego det(A)(det A − 1) = 0 y el determinante solo puede ser 0 o 1. Una proyección no trivial tiene determinante 0, de modo que no es invertible.

Question 50Matrices and Systems of Linear Equations

Sea el sistema con matriz ampliada [[1,2,3],[2,4,k]]. ¿Para qué valor de k el sistema es compatible indeterminado?

  1. k ≠ 6
  2. k = 3
  3. k = 0
  4. k = 6 Correct answer.

Explanation

La segunda fila de coeficientes (2,4) es el doble de la primera (1,2), luego rango(A) = 1. Para que el sistema sea compatible, el término independiente debe guardar la misma proporción: k = 2·3 = 6, y entonces rango(A*) = 1, menor que el número de incógnitas.