Planificación semanal de tartas con reducción de almendra
Una pastelería artesanal produce dos tipos de tarta, T1 y T2, que vende íntegramente. Cada T1 requiere 2 kg de harina y 1 kg de almendra; cada T2 requiere 1 kg de harina y 3 kg de almendra. Semanalmente dispone de 80 kg de harina y 90 kg de almendra, y el horno puede cocer como máximo 40 tartas en total. Por un contrato con una cafetería, debe elaborar al menos 5 tartas T1. El beneficio es de 30 € por cada T1 y 50 € por cada T2. La pastelería quiere planificar la producción semanal para maximizar el beneficio. Además, el proveedor de almendra ha anunciado que podría reducir el suministro semanal a 75 kg, manteniendo el resto de condiciones. El responsable necesita conocer el plan óptimo actual, el efecto de esa reducción y si la solución debe ajustarse a tartas enteras, ya que no se pueden vender fracciones.
1. Formula el problema de programación lineal, representa la región factible y calcula el plan óptimo semanal.
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Variables: x = tartas T1, y = tartas T2. Maximizar B=30x+50y sujeto a: 2x+y≤80 (harina), x+3y≤90 (almendra), x+y≤40 (horno), x≥5, y≥0. Vértices factibles: (5,0), (40,0), (15,25), (5,85/3). El punto (30,20) de intersección de harina y almendra no es factible porque x+y=50>40. Evaluando: B(5,0)=150; B(40,0)=1200; B(15,25)=450+1250=1700; B(5,85/3)=150+50·85/3≈1566,7. El máximo es 1700 € con 15 T1 y 25 T2.
2. Si el suministro de almendra baja a 75 kg, recalcula el óptimo. ¿Cambia la conclusión si se exigen tartas enteras?
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Con almendra ≤75, la restricción es x+3y≤75. La intersección con x+y=40 da x=22,5 e y=17,5; el beneficio es 30·22,5+50·17,5=675+875=1550 €. Es factible porque 2·22,5+17,5=62,5≤80. Si se exigen tartas enteras, (22,18) no es factible (22+54=76>75); (23,17) sí lo es y da 30·23+50·17=690+850=1540 €. Por tanto, el óptimo continuo es 1550 € y el entero es 1540 € con 23 T1 y 17 T2.
3. Interpreta la holgura de la restricción del horno en el óptimo original y explica si contratar una hora extra que permita 5 tartas más mejoraría el beneficio.
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En el óptimo original (15,25), x+y=40: la holgura del horno es 0, es una restricción activa. Si se permiten 5 tartas más (x+y≤45), el nuevo vértice relevante es la intersección de x+3y=90 con x+y=45: restando, 2y=45 -> y=22,5, x=22,5; beneficio=30·22,5+50·22,5=1800 €. Mejora 100 € respecto a 1700 €, luego sí compensaría si el coste de la hora extra es menor que 100 €.