Beneficio por alquiler de equipos: continuidad y máximo global
Una empresa de alquiler de equipos de sonido modela su beneficio diario, en miles de euros, según el número x de equipos alquilados (0≤x≤12) mediante la función definida a trozos: B(x)= -x^2+12x-20 si 0≤x≤7, y B(x)= ax+b si 7<x≤12. La dirección sabe que, para evitar saltos y cambios bruscos en la facturación, el beneficio debe ser continuo y derivable en x=7. Además, quiere conocer el número de equipos que maximiza el beneficio y el beneficio máximo alcanzable. Un técnico ha señalado que, con la función actual, el beneficio podría crecer indefinidamente si se ampliara el dominio, por lo que pide comprobar el comportamiento de la función en el tramo x>7. Se pide determinar los parámetros a y b, estudiar la continuidad y derivabilidad en x=7, y encontrar el máximo global en el intervalo [0,12].
1. Determina a y b para que B sea continua y derivable en x=7.
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Continuidad en x=7: el valor por la izquierda es -7^2+12·7-20=-49+84-20=15. Por la derecha, 7a+b=15. Derivada por la izquierda: B'(x)=-2x+12, en x=7 vale -2. Por la derecha, B'(x)=a. Para que sea derivable, a=-2. Entonces 7(-2)+b=15 -> b=29. La función es B(x)=-2x+29 para 7<x≤12.
2. Estudia el máximo global de B en [0,12] e interpreta el resultado.
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En [0,7], B(x)=-x^2+12x-20 tiene vértice en x=6 (B'(x)=0) y B(6)=-36+72-20=16. En los extremos: B(0)=-20, B(7)=15. En (7,12], B(x)=-2x+29 es decreciente: de 15 en x=7 a 5 en x=12. Por tanto, el máximo global es 16 en x=6: 6 equipos y 16.000 € de beneficio diario. Es un máximo interior del primer tramo, no un punto de ruptura.
3. Calcula los límites de B cuando x tiende a 7 y cuando x tiende a infinito. ¿Es correcta la advertencia del técnico sobre un crecimiento indefinido?
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lim_{x→7} B(x)=15 por ambos lados, coherente con la continuidad. Si se extendiera el segundo tramo, lim_{x→∞} B(x)=lim_{x→∞}(-2x+29)=-∞. Por tanto, la afirmación del técnico de que el beneficio crecería indefinidamente no es correcta con este modelo: el tramo lineal tiene pendiente negativa y acaba reduciendo el beneficio. Si se ampliara el dominio, habría que revisar el modelo, pero no por crecimiento ilimitado.