Ampliación de paneles solares: beneficio marginal y área acumulada
Una empresa de energía solar estima que el beneficio marginal, en miles de euros por cada cien paneles instalados, viene dado por B'(x)= -3x^2+18x-15, donde x se mide en cientos de paneles y 0≤x≤6. Actualmente la empresa tiene instalados 200 paneles (x=2) y estudia ampliar la instalación hasta 400 paneles (x=4). La dirección quiere saber el incremento de beneficio que aportaría esa ampliación y, además, cuál sería el nivel de instalación que maximiza el beneficio total si se sabe que el beneficio acumulado en x=0 es cero, es decir, B(0)=0. También solicita calcular el área encerrada entre la curva del beneficio marginal y el eje horizontal entre x=1 y x=5, e interpretar su significado económico. Un consultor advierte que el beneficio marginal es negativo para x<1 y para x>5, por lo que no conviene instalar más allá de ciertos límites sin revisar el modelo.
1. Calcula el incremento de beneficio al pasar de x=2 a x=4 mediante la integral definida de B'(x).
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El incremento es B(4)-B(2)=∫_2^4 (-3x^2+18x-15) dx. Una primitiva es F(x)=-x^3+9x^2-15x. F(4)=-64+144-60=20; F(2)=-8+36-30=-2. Incremento=20-(-2)=22 miles de euros, es decir, 22.000 €.
2. Obtén B(x) sabiendo que B(0)=0 y determina el nivel x que maximiza el beneficio total en [0,6]. Calcula el beneficio máximo.
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Integrando con B(0)=0: B(x)=∫_0^x (-3t^2+18t-15) dt=-x^3+9x^2-15x. B'(x)=-3(x^2-6x+5)=-3(x-1)(x-5). Puntos críticos x=1 y x=5. B(0)=0, B(1)=-1+9-15=-7, B(5)=-125+225-75=25, B(6)=-216+324-90=18. El máximo en [0,6] es 25 en x=5, es decir, 500 paneles y 25.000 € de beneficio acumulado.
3. Calcula e interpreta el área entre B'(x) y el eje X en [1,5].
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En [1,5], B'(x)≥0 porque -3(x-1)(x-5) es positivo entre las raíces. El área es ∫_1^5 B'(x) dx = B(5)-B(1)=25-(-7)=32, en miles de euros. Interpretación: al pasar de x=1 a x=5 el beneficio acumulado aumenta en 32.000 €; el área mide la suma neta de los beneficios marginales positivos, no el beneficio total, que parte de B(1)=-7.