Control de calidad de baterías: normal, muestra e intervalo de confianza
Una fábrica de baterías para patinetes eléctricos afirma que la autonomía de sus baterías sigue una distribución normal con media 1000 horas de uso y desviación típica 120 horas. El departamento de calidad selecciona habitualmente muestras aleatorias de 36 baterías para controlar el proceso. Un lote reciente ha proporcionado una autonomía media de 985 horas. La dirección quiere estimar la probabilidad de que una batería individual supere las 1150 horas y la probabilidad de que la media de una muestra de 36 baterías sea inferior a 960 horas. Además, con el lote reciente, pretende construir un intervalo de confianza al 95 % para la autonomía media poblacional, suponiendo que la desviación típica poblacional sigue siendo 120 horas, y decidir si el intervalo es compatible con la afirmación de que la media es 1050 horas. El gerente insiste en que no basta con dar el intervalo: hay que explicar qué significa y qué decisión práctica se puede tomar.
1. Calcula P(X>1150) y P(media muestral<960) para muestras de 36 baterías. Interpreta ambos resultados.
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Para una batería individual, X~N(1000,120). P(X>1150)=P(Z>(1150-1000)/120)=P(Z>1,25)=1-0,8944=0,1056. Para la media de 36 baterías, la desviación típica de la media es 120/√36=20. P(media<960)=P(Z<(960-1000)/20)=P(Z<-2)=0,0228. Interpretación: aproximadamente el 10,56 % de las baterías superan 1150 horas, pero solo el 2,28 % de las muestras de 36 tienen una media inferior a 960 horas; este segundo suceso es poco probable si la media poblacional es 1000.
2. Construye el intervalo de confianza al 95 % para la media con la muestra de 36 baterías y media 985. Explica su interpretación.
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Con n=36, media muestral 985 y σ=120, el error típico es 20. Para el 95 %, z=1,96. Margen=1,96·20=39,2. Intervalo: (985-39,2; 985+39,2)=(945,8; 1024,2). Interpretación correcta: si se repitieran muchas muestras del mismo tamaño, el 95 % de los intervalos así construidos contendrían la media poblacional; no significa que la media tenga una probabilidad del 95 % de estar entre esos valores concretos.
3. ¿El intervalo obtenido es compatible con una media poblacional de 1050 horas? Razona la respuesta y explica qué implicaría para la afirmación de la fábrica.
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El valor 1050 queda fuera del intervalo (945,8; 1024,2), por encima del límite superior. Con el procedimiento del intervalo al 95 %, esto indica que una media poblacional de 1050 no es compatible con la muestra observada al nivel de significación del 5 %. Prácticamente, la evidencia apunta a que la autonomía media real es inferior a 1050 horas; si la fábrica mantiene esa afirmación, el control de calidad debería revisar el proceso o tomar una muestra mayor antes de aceptarla.