Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque abre el examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de La Rioja y concentra matrices, determinantes y sistemas. Se pide operar con matrices, calcular rangos e inversas, y resolver o discutir sistemas -muchas veces con un parámetro- por Cramer, por la matriz inversa o con Rouché–Capelli; también aparecen ecuaciones matriciales del tipo AX + B = C.
Operaciones y reglas que se evalúan
- El producto de matrices no es conmutativo y solo existe si el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda.
- Traspuesta: (A+B)^t = A^t + B^t y (AB)^t = B^tA^t. Inversa: (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1).
- Determinante: |AB| = |A|·|B|; una matriz es regular (invertible) si y solo si |A| ≠ 0.
- Inversa por adjunta: A^(-1) = adj(A)^t / |A|, con los signos de los cofactores alternados (+ − +, − + −, + − +).
- Rango: número de filas (o columnas) linealmente independientes, igual al mayor menor no nulo. Sumar a una fila un múltiplo de otra o permutar filas no cambia el rango, así que conviene simplificar antes de discutir.
Rouché–Capelli y Cramer
Sea Ax = b, con matriz ampliada A*. Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible. Si rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas), es compatible determinado; si es menor que n, compatible indeterminado con n − rg(A) parámetros. Cuando |A| ≠ 0, Cramer da x_i = |A_i|/|A|, donde A_i es A con la columna i sustituida por el término independiente.
Ejemplo resuelto
Resolver AX = B con A = [[2,1],[1,1]] y B = [[3],[2]]. |A| = 2·1 − 1·1 = 1 ≠ 0, luego A es invertible. La adjunta es adj(A) = [[1,−1],[−1,2]], que coincide con su traspuesta, así que A^(-1) = [[1,−1],[−1,2]]. X = A^(-1)B = (1·3 + (−1)·2, (−1)·3 + 2·2) = (1, 1). Comprobación: 2·1 + 1·1 = 3 y 1·1 + 1·1 = 2. ✔
Errores que restan puntos
- Escribir A^(-1)B cuando la ecuación es XA = B (aquí X = BA^(-1)).
- Cambiar la columna equivocada en Cramer o dejar el determinante del denominador sin calcular.
- Confundir rg(A) con el número de incógnitas al contar parámetros de un sistema indeterminado.
- Perder el signo de algún cofactor al construir la adjunta en 3×3.
- Recordar que «dividir matrices» no existe: siempre se multiplica por la inversa.