Programación lineal y optimización
La programación lineal es un bloque fijo del examen: se plantea un problema de optimización (maximizar beneficio o minimizar coste) con restricciones lineales, se representa la región factible y se localiza el óptimo, casi siempre en un vértice. El enunciado suele ser un contexto económico con dos actividades y recursos limitados.
Planteamiento
- Definir las variables con sus unidades, indicando qué representa cada una (x = número de lotes del producto A).
- Escribir la función objetivo z = ax + by, que es la que se maximiza o minimiza.
- Traducir cada recurso a una inecuación lineal y añadir las restricciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0 cuando las variables son cantidades.
- En forma estándar se introducen variables de holgura para convertir ≤ en igualdad, útil si se pide el valor de los recursos no utilizados.
Resolución gráfica
- Dibujar cada recta frontera con dos puntos y sombrear el semiplano que cumple la desigualdad; la región factible es la intersección.
- Teorema fundamental: si la región es acotada y no vacía, el óptimo se alcanza en un vértice (o en todo un lado, si la recta de nivel es paralela a ese lado: infinitas soluciones).
- Método de los vértices: hallar las intersecciones dos a dos de las rectas, descartar las que no cumplen todas las restricciones y evaluar z en las válidas.
- Si el recinto no está acotado, comprobar si z crece indefinidamente antes de concluir que hay máximo.
Ejemplo resuelto
Maximizar z = 3x + 2y sujeto a x + y ≤ 4, 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Vértices factibles: (0,0), (3,0) -corte de 2x + y = 6 con el eje-, (2,2) -corte de las dos rectas- y (0,4). Valores: z(0,0) = 0; z(3,0) = 9; z(2,2) = 10; z(0,4) = 8. El máximo es 10 en (2,2), y es único porque ninguna recta de nivel coincide con un lado.
Errores que restan puntos
- Elegir un vértice que no pertenece a la región factible por no comprobar todas las inecuaciones.
- Olvidar la no negatividad y admitir soluciones con coordenadas negativas.
- Maximizar cuando el enunciado pide minimizar costes.
- No interpretar la solución en el contexto (unidades, recursos sobrantes).
- Confundir el signo al sombrear ≤ y ≥.