Límites y continuidad
Los límites y la continuidad son la base del cálculo que después se aplica a la optimización. El examen pide límites en un punto y en el infinito (con indeterminaciones), continuidad de funciones definidas a trozos con un parámetro y estudio de asíntotas.
Cálculo de límites
- Indeterminación 0/0: factorizar numerador y denominador y simplificar; con raíces, multiplicar por el conjugado.
- Indeterminación ∞/∞ en cocientes de polinomios: comparar grados. Si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞; si son iguales, el cociente de los coeficientes líderes; si es menor, 0.
- Indeterminación ∞ − ∞: operar con denominador común o multiplicar por el conjugado.
- Límites laterales: en funciones a trozos y en asíntotas verticales hay que calcularlos por separado.
Continuidad
- f es continua en x = a si existe f(a), existe lim(x→a) f(x) y ambos coinciden. Los tres pasos se escriben.
- Discontinuidad evitable: existe el límite pero no coincide con f(a). De salto finito: los límites laterales existen y son distintos. De salto infinito: algún lateral es ±∞ (asíntota vertical).
- Teorema de Bolzano: si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, existe c en (a,b) con f(c) = 0.
Asíntotas
- Vertical x = a si algún límite lateral en a es infinito.
- Horizontal y = L si lim(x→±∞) f(x) = L.
- Oblicua y = mx + n cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador, con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) − mx).
Ejemplo resuelto
f(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x < 1; f(1) = a; f(x) = x + 1 si x > 1. lim(x→1⁻) (x² − 1)/(x − 1) = lim (x + 1) = 2; lim(x→1⁺) (x + 1) = 2. Los laterales coinciden, pero f(1) = a, luego la función es continua en x = 1 únicamente si a = 2. Con otro valor la discontinuidad es evitable.
Errores que restan puntos
- Simplificar (x − 1) sin indicar que la simplificación es válida solo para x ≠ 1.
- Calcular un solo límite lateral en una función a trozos.
- Decir que hay asíntota horizontal cuando el límite en el infinito es infinito.
- Confundir discontinuidad evitable con salto finito.
- Comparar mal los grados en ∞/∞ y perder el signo.