Derivadas: aplicaciones a la optimización
Este bloque pide derivar con soltura (producto, cociente y regla de la cadena), estudiar monotonía y curvatura, localizar extremos relativos y resolver problemas de optimización, incluida la interpretación de la derivada como tasa de cambio instantánea.
Reglas y herramientas
- Derivadas inmediatas y regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
- Recta tangente en x = a: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- Monotonía: f' > 0 en un intervalo ⇒ f creciente; f' < 0 ⇒ decreciente.
- Extremo relativo: f'(a) = 0 y cambio de signo de f'. Alternativa: f''(a) > 0 ⇒ mínimo; f''(a) < 0 ⇒ máximo; si f''(a) = 0, hay que estudiar el signo de f'.
- Curvatura: f'' > 0 ⇒ convexa (∪); f'' < 0 ⇒ cóncava (∩). Punto de inflexión: cambia la curvatura y existe la función.
Problemas de optimización
- Identificar la función que se optimiza y la restricción; despejar una variable para quedarse con una sola incógnita.
- Fijar el dominio con sentido físico (longitudes y precios positivos).
- Derivar, igualar a cero, resolver y justificar con la segunda derivada o con el signo de f'.
- Si el dominio es un intervalo cerrado, comparar también los valores en los extremos.
Ejemplo resuelto
Se quiere cercar un rectángulo de 200 m² de área con el mínimo perímetro posible. Restricción: x·y = 200 ⇒ y = 200/x. Función: P(x) = 2x + 400/x, con x > 0. P'(x) = 2 − 400/x² = 0 ⇒ x² = 200 ⇒ x = 10√2 ≈ 14,14 m. P''(x) = 800/x³ > 0 para x > 0, luego es un mínimo. Entonces y = 200/(10√2) = 10√2 ≈ 14,14 m: el óptimo es un cuadrado de perímetro 40√2 ≈ 56,6 m.
Errores que restan puntos
- Derivar mal un cociente y perder el signo del numerador.
- Hallar el punto crítico y no justificar que es máximo o mínimo.
- Ignorar el dominio y aceptar soluciones negativas o nulas.
- No evaluar los extremos del intervalo cuando el dominio está acotado.
- Confundir un punto de inflexión con un extremo relativo.