Integración y áreas
La integral aparece en el examen como cálculo de primitivas inmediatas y, sobre todo, como área de recintos limitados por curvas. Se exige plantear la integral, localizar los puntos de corte y aplicar la regla de Barrow con precisión.
Primitivas inmediatas
- Potencias: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) para n ≠ −1; ∫(1/x) dx = ln|x|.
- Exponenciales: ∫e^x dx = e^x; ∫a^x dx = a^x/ln a.
- Compuestas sencillas: ∫f'·f^n = f^(n+1)/(n+1) y ∫f'/f = ln|f|.
- La constante de integración solo se escribe en la primitiva indefinida.
Integral definida y áreas
- Regla de Barrow: ∫(de a a b) f(x) dx = F(b) − F(a), con F primitiva de f.
- Propiedades: linealidad, ∫(de a a b) = −∫(de b a) y aditividad respecto del intervalo.
- Área entre f y el eje X en [a,b]: calcular los ceros, dividir el intervalo y sumar ∫|f|, cambiando el signo donde f < 0.
- Área entre dos curvas: ∫(de a a b) [f(x) − g(x)] dx, donde f es la que va por encima; los límites son los puntos de corte, obtenidos de f(x) = g(x).
Ejemplo resuelto
Área del recinto limitado por y = x² y y = x + 2. Cortes: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = 2 y x = −1. En [−1,2] la recta está por encima (en x = 0, 2 > 0), así que: A = ∫(de −1 a 2) (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3] evaluado entre −1 y 2 = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 4,5 u².
Errores que restan puntos
- Restar las funciones en el orden equivocado y dar un área negativa.
- No dividir el intervalo cuando la curva cambia de signo.
- Olvidar calcular los puntos de corte y usar límites inventados.
- Integrar mal 1/x (debe ser ln|x|, no x⁰/0).
- Arrastrar errores de signo al aplicar Barrow con límites negativos.