Probabilidad y variables aleatorias
El bloque de probabilidad cubre probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total y teorema de Bayes, junto con el estudio de variables aleatorias discretas (binomial) y continuas (normal), con tipificación y manejo de tablas. Suele aparecer un problema con tabla de contingencia o con distribución binomial y otro con la normal.
Probabilidad básica
- Regla de Laplace cuando los sucesos elementales son equiprobables.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Ā) = 1 − P(A).
- Condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0.
- A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), equivalente a P(A|B) = P(A).
- Probabilidad total: P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i) sobre una partición; Bayes invierte la condicional: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i)/P(B).
Variables aleatorias
- Discreta: μ = Σx_i·p_i; σ² = Σx_i²·p_i − μ².
- Binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), con μ = np y σ = √(np(1−p)).
- Normal N(μ,σ): tipificar Z = (X − μ)/σ y buscar en la tabla P(Z ≤ z).
- Simetría: P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z) y P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).
- Aproximación binomial → normal cuando np > 5 y n(1−p) > 5, usando μ = np y σ = √(np(1−p)).
Ejemplo resuelto
X ~ B(5; 0,2). Calcular P(X ≥ 2). P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 0,8⁵ − 5·0,2·0,8⁴ = 1 − 0,32768 − 0,4096 = 0,26272. El suceso complementario es la vía corta cuando se pide «al menos».
Errores que restan puntos
- Confundir P(A|B) con P(B|A) al aplicar Bayes.
- Olvidar restar la intersección en P(A ∪ B).
- Tipificar mal: dividir por σ² o restar σ en lugar de μ.
- No usar la simetría de la normal para valores negativos de z.
- Calcular «al menos uno» sin pasar por el complementario.
- Sumar probabilidades de sucesos no incompatibles.
Inferencia estadística: muestreo e intervalos de confianza
Este bloque cierra el examen: distribución de la media muestral, teorema central del límite, error típico, intervalos de confianza para la media (con σ conocida) y para una proporción, y cálculo del tamaño muestral necesario.
Distribución de la media muestral
- Si X ~ N(μ, σ), la media de n observaciones cumple X̄ ~ N(μ, σ/√n). La cantidad σ/√n es el error típico.
- Teorema central del límite: para n grande (en la práctica n ≥ 30) X̄ se distribuye aproximadamente normal aunque la población no lo sea.
- Al aumentar n, el error típico disminuye y el intervalo se estrecha.
Intervalos de confianza
- Media con σ conocida: x̄ ± z_(α/2)·σ/√n. Valores habituales: 90 % → 1,645; 95 % → 1,96; 99 % → 2,576.
- Error máximo admisible: E = z_(α/2)·σ/√n. Para conseguirlo, n = (z·σ/E)², redondeando siempre hacia arriba.
- Proporción: p̂ ± z_(α/2)·√(p̂(1−p̂)/n), con p̂ = casos favorables/n. Para el tamaño muestral se toma p = 0,5 si no hay estimación previa, porque maximiza p(1−p).
- Interpretación correcta: si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos así construidos contendrían μ; no es la probabilidad de que μ esté en este intervalo concreto.
Ejemplo resuelto
Una muestra de n = 100 da x̄ = 52 con σ = 10. Intervalo al 95 %: E = 1,96·10/√100 = 1,96 ⇒ IC = (52 − 1,96; 52 + 1,96) = (50,04; 53,96). Si se exige un error máximo de 1 unidad con el mismo nivel, n = (1,96·10/1)² = 384,16 ⇒ n = 385, siempre redondeando hacia arriba para no quedarse corto.
Errores que restan puntos
- Usar la desviación típica muestral cuando el enunciado da la poblacional.
- Confundir σ con σ/√n en el denominador del error.
- Redondear el tamaño muestral hacia abajo.
- Interpretar el nivel de confianza como probabilidad sobre el parámetro.
- Emplear z de un nivel distinto al pedido (1,645 frente a 1,96).
- Olvidar que un intervalo más estrecho exige más muestra o menos confianza.