Tres referencias de conserva y una llenadora regulable
Una conservera de Bermeo prepara tres referencias de atún en aceite con tres recursos: pescado, aceite y horas de línea. Cada lote de A consume 1 kg de pescado, 1 L de aceite y 1 h; cada lote de B consume 1 kg, 2 L y 4 h; cada lote de C consume 1 kg, 3 L y λ h, donde λ depende de la calibración de una llenadora recién instalada. Para una semana concreta la planta dispone de 6 kg de pescado, 10 L de aceite y 16 h de línea. Si se producen x, y, z lotes de A, B y C, el equilibrio de recursos conduce al sistema x+y+z=6, x+2y+3z=10, x+4y+λz=16. La dirección quiere saber para qué calibraciones el plan es único, cómo queda el plan con λ=5 y qué significa exactamente λ=7, un valor que aparece en las pruebas de mantenimiento. No se permite desechar recursos ni producir de más.
1. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de λ y clasifica el sistema según los valores de λ.
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La matriz de coeficientes es A = [[1,1,1],[1,2,3],[1,4,λ]]. Restando la primera fila a la segunda y a la tercera: det A = 1·(1·(λ−1)−2·3) = λ−7. Por tanto, si λ≠7 el determinante es no nulo y el sistema es compatible determinado, con solución única. Si λ=7, el determinante se anula. Al restar la primera ecuación a la segunda se obtiene y+2z=4; al restarla a la tercera, 3y+6z=10, es decir, y+2z=10/3. Ambas exigencias son incompatibles, así que el sistema es incompatible: no hay plan posible. No aparece un caso compatible indeterminado.
2. Resuelve el sistema para λ=5 e indica cuántos lotes de cada referencia se producen.
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Para λ=5 el sistema es: x+y+z=6; x+2y+3z=10; x+4y+5z=16. Restando la primera a la segunda: y+2z=4. Restando la primera a la tercera: 3y+4z=10. Sustituyendo y=4−2z en la segunda relación: 3(4−2z)+4z=10 → 12−6z+4z=10 → z=1. Entonces y=4−2=2 y x=6−2−1=3. La solución es (x,y,z)=(3,2,1): 3 lotes de A, 2 de B y 1 de C. Comprobación: pescado 3+2+1=6; aceite 3+4+3=10; línea 3+8+5=16.
3. Interpreta el caso λ=7: ¿qué falla y cuántas horas de línea harían falta para el plan que sugieren las dos primeras ecuaciones?
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Con λ=7, las dos primeras ecuaciones dan y+2z=4 y x=6−y−z=6−(4−2z)−z=2+z. La tercera ecuación quedaría x+4y+7z=16, pero sustituyendo: (2+z)+4(4−2z)+7z = 2+z+16−8z+7z = 18. Es decir, cualquier plan que cumpla las dos primeras ecuaciones consumiría 18 h de línea, no 16 h. Por eso el sistema es incompatible. Faltan 2 h de línea o hay que reducir la carga de la llenadora; no basta con recalibrar λ para obtener una solución con los recursos actuales.