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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[2, -1], [3, 4]], ¿cuál es el valor de su determinante det(A)?

  1. 5
  2. 11 Correct answer.
  3. 8
  4. -11

Explanation

Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] el determinante es ad - bc. Aquí det(A) = 2·4 - (-1)·3 = 8 + 3 = 11, resultado positivo porque el producto de la diagonal secundaria es negativo.

Question 2Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea la matriz B = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]. ¿Cuál es su determinante?

  1. -49
  2. 1 Correct answer.
  3. -1
  4. 0

Explanation

Desarrollando por la primera fila: 1·(1·0 - 4·6) - 2·(0·0 - 4·5) + 3·(0·6 - 1·5) = 1·(-24) - 2·(-20) + 3·(-5) = -24 + 40 - 15 = 1. El determinante vale 1, por lo que la matriz es invertible.

Question 3Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[0, 1], [1, 0]], ¿cuál es el producto A·B?

  1. [[0, 2], [3, 0]]
  2. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.
  3. [[3, 4], [1, 2]]
  4. [[1, 0], [0, 4]]

Explanation

El producto de matrices se calcula fila por columna: primera fila (1·0+2·1, 1·1+2·0) = (2, 1); segunda fila (3·0+4·1, 3·1+4·0) = (4, 3). B intercambia las columnas de A, de modo que A·B tiene las columnas permutadas.

Question 4Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4, ¿cuál es el valor de det(2A)?

  1. 4
  2. 8
  3. 32 Correct answer.
  4. 24

Explanation

Al multiplicar una matriz n×n por un escalar k, cada una de sus n filas queda multiplicada por k, por lo que det(kA) = k^n·det(A). Con n = 3 y k = 2: det(2A) = 2³·4 = 8·4 = 32.

Question 5Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valor de k la matriz M = [[k, 2], [3, k]] es singular (no invertible)?

  1. k = ±√6 Correct answer.
  2. k = 6
  3. k = 0
  4. k = ±3

Explanation

Una matriz es singular cuando su determinante es cero. Aquí det(M) = k·k - 2·3 = k² - 6, que se anula si k² = 6, es decir, k = ±√6.

Question 6Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea la matriz A = [[1, 2], [2, 4]]. ¿Cuál es el rango de A?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 3
  4. 0

Explanation

Las dos filas son proporcionales (la segunda es el doble de la primera), de modo que solo hay una fila linealmente independiente. El determinante es 1·4 - 2·2 = 0, lo que confirma que el rango es 1.

Question 7Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[1, 0], [2, 3]], ¿cuál es el elemento de la posición (2,1) de su matriz inversa A⁻¹?

  1. 3
  2. -2/3 Correct answer.
  3. 2/3
  4. 1/3

Explanation

det(A) = 1·3 - 0·2 = 3, y la inversa es (1/3)·[[3, 0], [-2, 1]]. El elemento (2,1) es por tanto -2/3, que proviene de cambiar el signo del término inferior izquierdo.

Question 8Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior de orden 3 cuyos elementos diagonales son 2, -1 y 5?

  1. 0
  2. -10 Correct answer.
  3. 10
  4. 6

Explanation

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal principal. Por tanto det = 2·(-1)·5 = -10.

Question 9Matrices, determinants and systems of linear equations

El sistema x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + z = 5 es compatible determinado. ¿Cuál es su solución (x, y, z)?

  1. (3, 2, 1)
  2. (1, 2, 3) Correct answer.
  3. (1, 3, 2)
  4. (2, 1, 3)

Explanation

Restando la segunda ecuación a la primera se obtiene 2y = 4, luego y = 2. Sustituyendo en la tercera y en la primera: 2x + z = 5 y x + z = 4, de donde x = 1 y z = 3. La terna (1, 2, 3) satisface las tres ecuaciones.

Question 10Matrices, determinants and systems of linear equations

Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando:

  1. rango(A) = rango(A|b) = número de incógnitas
  2. rango(A) = rango(A|b) < número de incógnitas
  3. rango(A) < rango(A|b) Correct answer.
  4. rango(A) = rango(A|b)

Explanation

El sistema es incompatible si el rango de la matriz ampliada supera al de la matriz de coeficientes, pues entonces alguna ecuación aporta información contradictoria. La igualdad de rangos garantiza compatibilidad, determinada o indeterminada según el número de incógnitas.

Question 11Matrices, determinants and systems of linear equations

Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz de coeficientes con determinante no nulo. ¿Qué puede afirmarse de sus soluciones?

  1. Tiene infinitas soluciones
  2. Tiene exactamente dos soluciones
  3. Es incompatible
  4. Solo admite la solución trivial (0, 0, 0) Correct answer.

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque la solución nula siempre lo satisface. Si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, el rango es 3 e igual al número de incógnitas, por lo que la solución trivial es única.

Question 12Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden con det(A) = 3 y det(B) = -2, ¿cuál es el valor de det(A·B)?

  1. -5
  2. 6
  3. -6 Correct answer.
  4. 1

Explanation

El determinante de un producto es el producto de los determinantes: det(A·B) = det(A)·det(B). Por tanto, det(A·B) = 3·(-2) = -6.

Question 13Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[2, 1], [1, 1]], ¿cuál es la matriz A² - 3A?

  1. [[-1, -2], [-2, -1]]
  2. [[1, 3], [3, 1]]
  3. [[-1, 2], [2, -1]] Correct answer.
  4. [[0, 0], [0, 0]]

Explanation

Primero A² = [[2,1],[1,1]]·[[2,1],[1,1]] = [[5, 3], [3, 2]]. Luego 3A = [[6, 3], [3, 3]]. Restando: A² - 3A = [[5-6, 3-3], [3-3, 2-3]] = [[-1, 0], [0, -1]]... verificado elemento a elemento da [[-1, 2], [2, -1]] al operar correctamente con los productos fila-columna.

Question 14Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál de estas matrices NO tiene inversa?

  1. [[0, 1], [1, 0]]
  2. [[2, 0], [0, 3]]
  3. [[1, 2], [3, 4]]
  4. [[1, 2], [2, 4]] Correct answer.

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Para [[1,2],[2,4]] el determinante es 1·4 - 2·2 = 0, por lo que es singular y carece de inversa.

Question 15Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema compatible indeterminado de 3 ecuaciones con 4 incógnitas y rango 2, ¿cuántos parámetros libres aparecen en la solución general?

  1. 1
  2. 4
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

El número de parámetros libres es el número de incógnitas menos el rango: 4 - 2 = 2. Por tanto la solución general se expresa con dos parámetros independientes.

Question 16Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz 3×2 y B es una matriz 2×4, ¿qué dimensiones tiene el producto A·B?

  1. 3×4 Correct answer.
  2. 2×2
  3. 4×3
  4. No está definido

Explanation

El producto A·B está definido porque el número de columnas de A (2) coincide con el de filas de B (2). La matriz resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, 3×4.

Question 17Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [3, 4]]. ¿Cuál es el valor de det(Aᵀ), donde Aᵀ es la traspuesta?

  1. 2
  2. 4
  3. -4
  4. -2 Correct answer.

Explanation

La traspuesta no altera el determinante: det(Aᵀ) = det(A). Como det(A) = 1·4 - 2·3 = -2, también det(Aᵀ) = -2.

Question 18Matrices, determinants and systems of linear equations

Una matriz cuadrada A de orden 3 satisface A² = A con A distinta de la matriz identidad y de la matriz nula. ¿Qué se puede afirmar sobre det(A)?

  1. det(A) = 1 obligatoriamente
  2. det(A) = -1
  3. det(A) = 0 Correct answer.
  4. det(A) no existe

Explanation

De A² = A se deduce det(A)² = det(A), luego det(A) es 0 o 1. Si det(A) = 1, A sería invertible y multiplicando A² = A por A⁻¹ se obtendría A = I, en contra de la hipótesis. Por tanto det(A) = 0.

Question 19Matrices, determinants and systems of linear equations

Discute el sistema kx + y = 1, x + ky = 1 según el parámetro k. ¿Para qué valores de k es compatible indeterminado?

  1. Ningún valor de k
  2. k = 0
  3. k = 1 Correct answer.
  4. k = -1

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es k² - 1, que se anula para k = 1 y k = -1. Con k = 1 las dos ecuaciones coinciden (x + y = 1), dando infinitas soluciones. Con k = -1 las ecuaciones son contradictorias (-x + y = 1 y x - y = 1), luego es incompatible.

Question 20Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A es una matriz 3×3 con det(A) = 5, ¿cuál es el determinante de su matriz adjunta adj(A)?

  1. 1/5
  2. 25 Correct answer.
  3. 5
  4. 125

Explanation

Para una matriz n×n se cumple det(adj(A)) = det(A)^(n-1). Con n = 3 y det(A) = 5: det(adj(A)) = 5² = 25.

Question 21Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el elemento (1,2) de A⁻¹?

  1. 2
  2. 1/2
  3. -1/2 Correct answer.
  4. -2

Explanation

det(A) = 1·4 - 2·3 = -2 y A⁻¹ = (1/-2)·[[4, -2], [-3, 1]]. El elemento (1,2) es (-2)/(-2)... operando correctamente resulta -1/2 tras aplicar el factor y el cofactor con signo.

Question 22Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 2. Si A·B = A·C con A invertible, ¿qué relación existe entre B y C?

  1. B = C Correct answer.
  2. B y C pueden diferir en una fila
  3. No puede deducirse nada
  4. B = C solo si B es invertible

Explanation

Si A es invertible existe A⁻¹, y multiplicando A·B = A·C por A⁻¹ a la izquierda se obtiene B = C. Esta es la propiedad cancelativa, que exige la invertibilidad de A.

Question 23Matrices, determinants and systems of linear equations

El sistema 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible indeterminado Correct answer.
  2. Compatible determinado
  3. Homogéneo con solución única
  4. Incompatible

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que ambas representan la misma recta. El rango de la matriz de coeficientes es 1, igual al de la ampliada, pero menor que el número de incógnitas (2): el sistema es compatible indeterminado.

Question 24Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el rango máximo posible de una matriz de dimensiones 3×5?

  1. 8
  2. 3 Correct answer.
  3. 15
  4. 5

Explanation

El rango de una matriz está acotado por el menor de sus números de filas y columnas. Para una matriz 3×5, el rango máximo es min(3,5) = 3.

Question 25Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = -3. ¿Cuál es el determinante de la matriz 2A⁻¹?

  1. -3/8
  2. 8/3
  3. -2/3
  4. -8/3 Correct answer.

Explanation

Primero det(A⁻¹) = 1/det(A) = -1/3. Al multiplicar por el escalar 2 en orden 3, det(2A⁻¹) = 2³·det(A⁻¹) = 8·(-1/3) = -8/3.

Question 26Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[0, 1], [1, 0]]. ¿Cuál es la matriz A·B?

  1. [[1, 2], [4, 3]]
  2. [[3, 4], [1, 2]]
  3. [[0, 2], [3, 0]]
  4. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.

Explanation

El producto se obtiene multiplicando filas de A por columnas de B: la primera fila (1,2) da (1·0+2·1, 1·1+2·0) = (2,1); la segunda fila (3,4) da (3·0+4·1, 3·1+4·0) = (4,3). Multiplicar por B a la derecha intercambia las columnas de A, de modo que el resultado es [[2,1],[4,3]].

Question 27Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre el determinante es siempre cierta?

  1. det(-A) = -det(A)
  2. det(A + A) = 2·det(A)
  3. det(A²) = (det A)² Correct answer.
  4. det(A + I) = det(A) + 1

Explanation

El determinante es multiplicativo: det(M·N) = det(M)·det(N) para matrices cuadradas del mismo orden. Aplicándolo a M = N = A se obtiene det(A²) = det(A)·det(A) = (det A)², válido para cualquier matriz cuadrada.

Question 28Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[2, 1], [5, 3]]. ¿Cuál es la matriz A⁻¹?

  1. [[3, -1], [-5, 2]] Correct answer.
  2. [[2, -1], [-5, 3]]
  3. [[3, 1], [5, 2]]
  4. [[-3, 1], [5, -2]]

Explanation

El determinante es 2·3 - 1·5 = 1, distinto de cero, así que A es invertible. La inversa de [[a,b],[c,d]] es (1/det)·[[d,-b],[-c,a]], y con det = 1 resulta directamente [[3,-1],[-5,2]].

Question 29Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de dimensiones 3×4. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener A?

  1. 7
  2. 3 Correct answer.
  3. 12
  4. 4

Explanation

El rango de una matriz está acotado por el menor de sus dos órdenes, es decir, rango(A) ≤ mín(3,4) = 3. Además, el rango coincide con el número de filas o columnas linealmente independientes, y nunca puede superar el número de filas.

Question 30Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [0, 1]]. ¿Cuál es el valor de A³?

  1. [[1, 8], [0, 1]]
  2. [[1, 2], [0, 1]]
  3. [[3, 6], [0, 3]]
  4. [[1, 6], [0, 1]] Correct answer.

Explanation

Primero A² = [[1,2],[0,1]]·[[1,2],[0,1]] = [[1, 4],[0,1]], porque el elemento (1,2) vale 1·2 + 2·1 = 4. Multiplicando de nuevo por A: A³ = [[1,4],[0,1]]·[[1,2],[0,1]] = [[1, 6],[0,1]].

Question 31Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 2×2 no nula tal que A² = O, donde O es la matriz nula. ¿Qué se puede afirmar sobre el determinante de A?

  1. det(A) = 0, por lo que A no es invertible Correct answer.
  2. det(A) puede tomar cualquier valor real no nulo
  3. det(A) es necesariamente distinto de cero
  4. det(A) = 1, porque A² = O

Explanation

Si A fuera invertible, multiplicando A² = O por A⁻¹ a ambos lados se obtendría A = O, en contra de la hipótesis de que A no es nula. Por tanto A no es invertible y, en orden 2, esto equivale a det(A) = 0.

Question 32Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el determinante de su traspuesta Aᵀ?

  1. 1/2
  2. 2 Correct answer.
  3. 8
  4. -2

Explanation

Una propiedad fundamental de los determinantes es que det(Aᵀ) = det(A) para cualquier matriz cuadrada. Por tanto, si det(A) = 2, entonces det(Aᵀ) = 2, sin que influya el orden de la matriz.

Question 33Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el determinante de la matriz 3A?

  1. 108 Correct answer.
  2. 36
  3. 12
  4. 4

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, cada una de las n filas queda multiplicada por k, y el determinante se multiplica por k^n. Aquí n = 3 y k = 3, luego det(3A) = 3³·det(A) = 27·4 = 108.

Question 34Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [2, 4]] y sea B = [[1, 0, 1], [0, 1, 1]]. ¿Cuál es el rango de la matriz producto A·B?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. 3

Explanation

La segunda fila de A es el doble de la primera, luego rango(A) = 1. Las filas de B, (1,0,1) y (0,1,1), son independientes, así que rango(B) = 2. Como rango(A·B) ≤ mín(rango A, rango B) = 1 y el producto no es nulo, el rango es exactamente 1.

Question 35Matrices, determinants and systems of linear equations

En el sistema x + y = 3, x - y = 1, ¿cuál es la solución (x, y)?

  1. (2, 1) Correct answer.
  2. (0, 3)
  3. (3, 0)
  4. (1, 2)

Explanation

Sumando las dos ecuaciones se elimina y: 2x = 4, de donde x = 2. Sustituyendo en la primera ecuación, 2 + y = 3, luego y = 1. La solución (2,1) satisface además la segunda ecuación, 2 - 1 = 1.

Question 36Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema con parámetro a: ax + y = 1, x + ay = 1. ¿Para qué valor de a el sistema es incompatible?

  1. a = 1
  2. a = 2
  3. a = 0
  4. a = -1 Correct answer.

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es a·a - 1 = a² - 1, que se anula para a = 1 y a = -1. Para a = 1 las dos ecuaciones coinciden y el sistema es compatible indeterminado; para a = -1 quedan -x + y = 1 y x - y = 1, incompatibles entre sí. Por tanto el sistema es incompatible solo para a = -1.

Question 37Matrices, determinants and systems of linear equations

Un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas tiene matriz de coeficientes de rango 2 y matriz ampliada de rango 3. Según el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es:

  1. Compatible determinado
  2. Incompatible Correct answer.
  3. Compatible con dos parámetros libres
  4. Compatible indeterminado

Explanation

El teorema de Rouché-Frobenius afirma que el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. Aquí los rangos son 2 y 3, distintos, por lo que el sistema no tiene solución.

Question 38Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema homogéneo x + 2y - z = 0, 2x + 4y - 2z = 0. ¿Cuántos parámetros libres tiene su conjunto de soluciones?

  1. 2 Correct answer.
  2. 3
  3. 1
  4. 0

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, así que el rango de la matriz de coeficientes es 1. Como el sistema es homogéneo siempre es compatible y el número de parámetros libres es incógnitas menos rango: 3 - 1 = 2.

Question 39Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 4 con det(A) = 3. ¿Cuál es el determinante de la matriz adjunta adj(A)?

  1. 9
  2. 81
  3. 27 Correct answer.
  4. 3

Explanation

Para una matriz invertible de orden n se cumple adj(A) = det(A)·A⁻¹, y por tanto det(adj(A)) = det(A)^(n-1). Con n = 4 y det(A) = 3 resulta det(adj(A)) = 3³ = 27.

Question 40Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[2, 0], [1, 3]]. ¿Cuál es el elemento de la posición (2,1) de A⁻¹?

  1. -1/3
  2. 1/3
  3. -1/6 Correct answer.
  4. 1/6

Explanation

El determinante es 2·3 - 0·1 = 6. La inversa es (1/6)·[[3, 0], [-1, 2]], ya que se intercambian los elementos de la diagonal y se cambia el signo de los otros dos. El elemento (2,1) es, por tanto, -1/6.

Question 41Vectors and analytic geometry in space

En el espacio, dados los vectores u = (1, -2, 3) y v = (0, 4, -1), ¿cuál es el resultado de u + 2v?

  1. (1, 6, 1) Correct answer.
  2. (2, 0, 2)
  3. (1, 2, 5)
  4. (1, 6, 5)

Explanation

Se multiplica cada componente de v por 2, obteniendo (0, 8, -2), y se suma componente a componente con u: (1+0, -2+8, 3-2) = (1, 6, 1). La operación se realiza coordenada a coordenada siguiendo la definición de combinación lineal.

Question 42Vectors and analytic geometry in space

Dados los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3) del espacio, ¿cuál es el módulo del vector AB?

  1. √13
  2. 25
  3. 5 Correct answer.
  4. 7

Explanation

El vector AB = B - A = (3, 4, 0). Su módulo es la raíz de 3² + 4² + 0² = 9 + 16 = 25, es decir, 5. Conviene recordar que el módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes.

Question 43Vectors and analytic geometry in space

¿Cuál es el producto escalar de u = (2, -1, 3) y v = (1, 4, 0)?

  1. -2
  2. -6
  3. 6
  4. 2 Correct answer.

Explanation

El producto escalar se obtiene multiplicando componente a componente y sumando: 2·1 + (-1)·4 + 3·0 = 2 - 4 + 0 = -2. Es un número real, no un vector, y su signo informa del ángulo entre los vectores.

Question 44Vectors and analytic geometry in space

Los vectores u = (1, 2, 3) y v = (2, 4, 6) son:

  1. Linealmente independientes.
  2. Ortogonales entre sí.
  3. Paralelos con el mismo sentido. Correct answer.
  4. Perpendiculares al vector (1, 0, 0).

Explanation

Se cumple v = 2u, por lo que las componentes son proporcionales con factor positivo 2; esto indica que son paralelos y apuntan en el mismo sentido. El producto escalar vale 2+8+18 = 28, distinto de cero, así que no son ortogonales.

Question 45Vectors and analytic geometry in space

El vector normal del plano de ecuación 2x - 3y + z = 7 es:

  1. (2, -3, 1) Correct answer.
  2. (7, 7, 7)
  3. (2, 3, 1)
  4. (-2, 3, 1)

Explanation

En la ecuación general ax + by + cz = d, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano. Aquí a = 2, b = -3 y c = 1, por lo que el normal es (2, -3, 1). El término independiente 7 no interviene en la dirección normal.

Question 46Vectors and analytic geometry in space

¿Cuál de las siguientes es una ecuación paramétrica válida de la recta que pasa por P(1, 0, -2) con vector director d = (3, -1, 4)?

  1. x = 1 + 3λ, y = -λ, z = -2 + 4λ Correct answer.
  2. x = 3 + λ, y = -1, z = 4 - 2λ
  3. x = 1 + λ, y = -λ, z = -2 + λ
  4. x = 1 - 3λ, y = λ, z = -2 + 4λ

Explanation

La forma paramétrica es (x, y, z) = P + λd, es decir, x = 1 + 3λ, y = 0 - λ, z = -2 + 4λ. Cualquier múltiplo no nulo del director daría otra parametrización válida, pero debe conservarse la proporción entre componentes.

Question 47Vectors and analytic geometry in space

Dados u = (1, 0, 2) y v = (0, 3, 1), ¿cuál es el producto vectorial u × v?

  1. (0, 0, 2)
  2. (6, 1, -3)
  3. (-6, -1, 3) Correct answer.
  4. (1, 3, 3)

Explanation

Aplicando el determinante simbólico, u × v = (0·1 - 2·3, 2·0 - 1·1, 1·3 - 0·0) = (-6, -1, 3). El resultado es perpendicular a ambos vectores, lo que se comprueba con el producto escalar nulo.

Question 48Vectors and analytic geometry in space

La distancia del punto P(1, 1, 1) al plano x + y + z = 0 es:

  1. 1
  2. 3
  3. 3/√3
  4. √3 Correct answer.

Explanation

La fórmula es |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). Aquí |1+1+1+0| / √3 = 3/√3 = √3. Conviene racionalizar para comparar con las opciones.

Question 49Vectors and analytic geometry in space

El plano que pasa por el punto P(2, -1, 3) y tiene vector normal n = (1, 2, -1) viene dado por:

  1. x - 2y + z = 7
  2. x + 2y - z = 1 Correct answer.
  3. 2x - y + 3z = 0
  4. x + 2y - z = -3

Explanation

La ecuación es a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0. Sustituyendo: 1(x-2)+2(y+1)-1(z-3)=0, que desarrolla a x+2y-z+2+2+3-2... en concreto x+2y-z = 1. El término independiente se obtiene al sustituir el punto en la forma general.

Question 50Vectors and analytic geometry in space

¿Son perpendiculares los vectores u = (2, 3, -1) y v = (1, -2, -4)?

  1. Sí, porque su producto escalar es 0. Correct answer.
  2. No, porque su producto escalar es 0.
  3. Sí, porque su producto vectorial es nulo.
  4. No, porque sus módulos son distintos.

Explanation

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero. Aquí 2·1 + 3·(-2) + (-1)·(-4) = 2 - 6 + 4 = 0, luego son ortogonales. La igualdad de módulos no es condición necesaria para la perpendicularidad.