Trayectoria de un dron y plano de exclusión
Un dron de inspección de una bodega de txakoli sigue un tramo recto entre los puntos A(3,0,1) y B(1,2,2), medidos en metros. En la misma nave hay un plano de exclusión π: 2x−y+2z=6 y un sensor fijo en P(0,1,3). El responsable de seguridad debe decidir si el tramo de vuelo cruza el plano de exclusión, a qué distancia queda el sensor del plano y con qué ángulo corta la trayectoria al plano, porque un ángulo demasiado rasante activa una alarma. El dron se mueve en línea recta y no se tienen en cuenta vibraciones ni radio de giro. Los datos están en coordenadas cartesianas con el eje z vertical. Se pide un análisis geométrico, no una simulación numérica. Se considera el segmento cerrado AB, no la recta completa.
1. Halla la ecuación paramétrica de la recta AB y determina si el segmento AB corta el plano π. Si lo corta, da el punto de corte.
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Un vector director es d=B−A=(−2,2,1). La recta es r(t)=(3,0,1)+t(−2,2,1)=(3−2t,2t,1+t). Sustituyendo en π: 2(3−2t)−(2t)+2(1+t)=6 → 6−4t−2t+2+2t=6 → 8−4t=6 → t=1/2. El punto es (3−1,1,1+1/2)=(2,1,3/2). Como 0≤t≤1, el corte está dentro del segmento AB, no fuera.
2. Calcula la distancia del sensor P al plano π e interpreta el resultado.
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Para π: 2x−y+2z−6=0, la distancia de P(0,1,3) es |2·0−1+2·3−6|/√(2^2+(−1)^2+2^2) = |−1+6−6|/√9 = 1/3 m. El sensor está a 1/3 m del plano de exclusión. Si el plano tiene espesor o margen de seguridad, ese margen debe ser menor que 1/3 m para que el sensor quede fuera de la zona; el signo del numerador indica además en qué lado del plano está P.
3. Determina el ángulo que forma la trayectoria AB con el plano π.
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El ángulo θ entre recta y plano cumple sin θ = |d·n|/(|d||n|), con d=(−2,2,1) y n=(2,−1,2). d·n=−4−2+2=−4, |d|=√(4+4+1)=3, |n|=√(4+1+4)=3. Así sin θ=4/9 y θ=arcsin(4/9)≈26,4°. No se usa cos θ directamente porque el ángulo se mide respecto al plano, no respecto a la normal.