Coste por pieza con dos tramos y un parámetro
Una empresa de mecanizado quiere modelar el coste total, en miles de euros, de producir x centenares de piezas. Para 0≤x≤1 el coste sigue C(x)=x^2+ax+b; para x>1, la empresa cambia de turno y ajusta el modelo a C(x)=ln x+c. Los datos de contabilidad fijan C(0)=2. Además, la dirección exige que C sea continua y derivable en x=1 para evitar saltos en la planificación. Un técnico propone usar el tramo logarítmico también en x=1, pero antes hay que determinar a, b y c. Finalmente, se quiere conocer la recta tangente en x=2 y el coste mínimo del primer tramo, porque el intervalo [0,1] corresponde al régimen habitual de pedidos pequeños. Trabaja en unidades de miles de euros y centenares de piezas. No se permite un cambio brusco de pendiente.
1. Determina a, b y c para que C(0)=2 y C sea continua y derivable en x=1.
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C(0)=b=2. Continuidad en x=1: límite por la izquierda 1+a+b; por la derecha ln 1+c=c. Luego 1+a+2=c, es decir c=3+a. Derivabilidad: derivada izquierda 2x+a en x=1 vale 2+a; derivada derecha 1/x en x=1 vale 1. Igualando: 2+a=1, luego a=−1. Entonces c=3−1=2. Resultado: a=−1, b=2, c=2. La función queda C(x)=x^2−x+2 si 0≤x≤1, y C(x)=ln x+2 si x>1.
2. Halla la ecuación de la recta tangente a C en x=2.
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Para x=2 se usa el tramo logarítmico: C(2)=ln 2+2. La derivada es C'(x)=1/x, luego C'(2)=1/2. La tangente es y−C(2)=C'(2)(x−2), es decir y−(ln 2+2)=(1/2)(x−2). Desarrollando: y=(1/2)x+1+ln 2. La pendiente positiva indica que en ese punto el coste sigue creciendo, pero cada vez más despacio.
3. Encuentra el coste mínimo en el intervalo [0,1] y explica si el mínimo global del modelo puede estar en x=1.
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En [0,1], C(x)=x^2−x+2 y C'(x)=2x−1. El único punto crítico es x=1/2, con C(1/2)=1/4−1/2+2=7/4. En los extremos: C(0)=2 y C(1)=2. Por tanto, el mínimo en [0,1] es 7/4 (miles de euros) en x=1/2. En x=1 la función vale 2 y la derivada por la izquierda es 1, igual que por la derecha; no hay mínimo global allí porque para x>1, ln x+2 crece desde 2 y se aleja de 7/4. El mínimo global del modelo es 7/4.