Arco parabólico de un pabellón y reparto de superficie
Un pabellón de una feria de Durango tiene un panel frontal cuya silueta, vista de frente, es la región limitada por la parábola y=4−x^2 y el suelo y=0, con x medido en metros entre −2 y 2. El panel mide 4 m de alto en el centro y 4 m de ancho en la base. Para el prototipo de una cúpula, se gira esa región alrededor del eje x y se genera un sólido de revolución. El ayuntamiento quiere conocer la superficie del panel, el volumen del sólido y, además, la altura k a la que debe colocarse una franja horizontal y=k para que divida la superficie del panel en dos partes iguales. La franja se coloca por encima del suelo y por debajo del vértice de la parábola. No se debe confundir la altura de la franja con la ordenada del centro de gravedad.
1. Calcula la superficie del panel.
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La superficie es el área entre y=4−x^2 y y=0 desde x=−2 hasta x=2. Por simetría: A=2∫_0^2 (4−x^2) dx =2[4x−x^3/3]0^2 =2(8−8/3)=2(16/3)=32/3 m². También sale directamente con el intervalo completo: [4x−x^3/3]{−2}^{2}=32/3. La superficie es 32/3 m² ≈10,67 m².
2. Calcula el volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje x.
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Al girar alrededor del eje x, el radio de cada disco es 4−x^2. V=π∫{−2}^{2}(4−x^2)^2 dx =π∫{−2}^{2}(16−8x^2+x^4) dx. Por simetría: V=2π[16x−(8/3)x^3+x^5/5]_0^2 =2π(32−64/3+32/5)=2π(256/15)=512π/15 m³ ≈107,2 m³.
3. Determina k para que la recta horizontal y=k divida el área del panel en dos partes iguales.
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La recta y=k, con 0<k<4, corta la parábola en x=±a, donde a^2=4−k. El área por encima de y=k dentro del panel es ∫{−a}^{a}[(4−x^2)−k] dx =∫{−a}^{a}(a^2−x^2) dx =2(a^3−a^3/3)=4a^3/3. Debe ser la mitad del área total, 16/3. Entonces 4a^3/3=16/3 → a^3=4 → a=∛4. Por tanto k=4−a^2=4−∛16. Numéricamente, ∛16≈2,52, luego k≈1,48 m. La franja se coloca a unos 1,48 m del suelo.