Dos llenadoras y un lote con defectuosos
Una cooperativa de txakoli llena sus botellas en dos líneas. La línea A produce el 60 % de la producción y la línea B el 40 % restante. El control de calidad histórico indica que A genera un 1,5 % de botellas defectuosas y B un 4 %. Se elige una botella al azar del almacén y se analiza. La responsable de calidad quiere saber la probabilidad de que la botella sea defectuosa, la probabilidad de que, siendo defectuosa, proceda de B, y la probabilidad de que en una muestra de 8 botellas de la línea A haya al menos una defectuosa. Supón que las botellas de A son independientes entre sí y que los porcentajes se mantienen estables. No se mezclan lotes de las dos líneas antes del muestreo.
1. Calcula la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa.
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Sea D el suceso botella defectuosa. Por la ley de la probabilidad total: P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)=0,60·0,015+0,40·0,04=0,009+0,016=0,025. Es decir, el 2,5 % de las botellas son defectuosas. La línea B aporta más defectos absolutos que A pese a producir menos, porque su tasa es más del doble.
2. Si la botella elegida resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que venga de la línea B?
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Por Bayes: P(B|D)=P(B)P(D|B)/P(D)=0,40·0,04/0,025=0,016/0,025=0,64. Hay un 64 % de probabilidad de que una botella defectuosa proceda de B. Aunque B solo produce el 40 % del total, concentra la mayoría de los defectos. La probabilidad complementaria, P(A|D)=0,36, confirma el diagnóstico.
3. En una muestra de 8 botellas de la línea A, calcula la probabilidad de que haya al menos una defectuosa.
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Sea X el número de defectuosas en 8 botellas de A. X~Bin(8; 0,015). P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(0,985)^8. Calculando: (0,985)^8≈0,8861, luego P(X≥1)≈0,1139, es decir, un 11,4 %. No conviene usar la aproximación normal porque n es pequeño y p está muy cerca de 0; el cálculo binomial es el adecuado.