Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque evalúa el álgebra matricial, los determinantes y rangos, y la discusión y resolución de sistemas lineales, incluidos los que dependen de un parámetro. En la PAU de Matemáticas II los enunciados habituales piden discutir un sistema según un parámetro, resolverlo por Cramer o Gauss, calcular una inversa o despejar X en una ecuación del tipo AX = B.
Determinantes y rango
- Determinante de orden 3 por Sarrus o por adjuntos, con signos alternos +, −, + en la primera fila.
- Una fila combinación lineal de otras anula el determinante; sumar a una fila un múltiplo de otra no lo modifica (útil para triangular).
- El rango es el mayor orden de menores no nulos; para discutir un sistema basta comparar rg(A) con rg(A|b).
Rouché–Capelli y Cramer
- rg(A) ≠ rg(A|b): incompatible.
- rg(A) = rg(A|b) = n: compatible determinado; se resuelve por Cramer, xᵢ = |Aᵢ|/|A|, o por Gauss.
- rg(A) = rg(A|b) = r < n: compatible indeterminado con n − r parámetros.
- Un sistema homogéneo es siempre compatible y solo tiene solución no trivial si rg(A) < n.
Ejemplo resuelto
Discutir según a: x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 4y + az = 4.
Por la primera fila, |A| = 1(2a − 12) − 1(a − 3) + 1(4 − 2) = a − 7.
Si a ≠ 7, |A| ≠ 0: compatible determinado, solución única por Cramer.
Si a = 7, F₃ − F₁ = (0, 3, 6) = 3(F₂ − F₁), luego rg(A) = 2. En la ampliada, F₃ − F₁ = (0, 3, 6 | 3) = 3(0, 1, 2 | 1), luego rg(A|b) = 2: compatible indeterminado. De y + 2z = 1 y x = 1 − y − z resulta x = z, es decir, (z, 1 − 2z, z) con z real. Si el término independiente de la tercera ecuación fuese 5, la fila (0, 3, 6 | 4) no sería múltiplo de (0, 1, 2 | 1): rg(A|b) = 3 e incompatible.
Errores que restan puntos
- Discutir solo con |A| = 0 sin calcular después el rango de la ampliada, que es lo que decide entre indeterminado e incompatible.
- Errores de signo en los adjuntos y al escribir A⁻¹ = adj(A)ᵗ/|A|.
- En ecuaciones matriciales, multiplicar por la inversa por el lado equivocado: AX = B exige X = A⁻¹B, no BA⁻¹.
- Olvidar que en un sistema homogéneo la solución trivial siempre existe.