Vectores y geometría analítica en el espacio
La geometría analítica del espacio evalúa los productos escalar, vectorial y mixto, las ecuaciones de rectas y planos, las posiciones relativas, los ángulos y las distancias. En la PAU vasca suele aparecer un problema con una recta y un plano, a veces con parámetro, que pide posición relativa, punto de corte, ángulo, distancia o el simétrico de un punto respecto de un plano.
Vectores
- Producto escalar u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; |u| = √(u·u); cos θ = u·v/(|u||v|). Ortogonalidad: u·v = 0.
- Producto vectorial u × v: perpendicular a ambos, de módulo igual al área del paralelogramo; se calcula con el determinante simbólico de filas i, j, k.
- Producto mixto [u, v, w] = u·(v × w) = determinante 3×3; su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo y vale 0 si y solo si los tres vectores son coplanarios.
Rectas, planos, ángulos y distancias
- Recta: punto + t·vector dirección; forma continua (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c, admitiendo denominadores nulos.
- Plano: Ax + By + Cz + D = 0, con vector normal n = (A, B, C).
- Recta y plano: se sustituye la recta en el plano; 0 = 0 indica recta contenida, 0 = k ≠ 0 paralela, y solución única punto de corte.
- Ángulo recta-plano: sen α = |d·n|/(|d||n|).
- Distancia punto-plano: |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²).
Ejemplo resuelto
Recta r: (x, y, z) = (1, 0, −1) + t(2, 1, −1) y plano π: x + 2y + 4z = 3.
d·n = 2·1 + 1·2 + (−1)·4 = 0, así que r es paralela a π o está contenida en él. El punto (1, 0, −1) da 1 + 0 − 4 = −3 ≠ 3, luego no pertenece al plano: r es estrictamente paralela. Distancia = |1 + 0 − 4 − 3|/√(1 + 4 + 16) = 6/√21 = 2√21/7.
Errores que restan puntos
- Confundir el vector dirección de la recta con el vector normal del plano.
- Usar el coseno en lugar del seno para el ángulo entre recta y plano.
- Olvidar el valor absoluto en distancias y ángulos.
- Fallar el signo de la componente j en el producto vectorial.
- Cuando d·n = 0, no comprobar si el punto de la recta pertenece al plano.