Límites, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable
Este bloque evalúa límites, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable: indeterminaciones, asíntotas, estudio de la continuidad y la derivabilidad, recta tangente, monotonía y extremos, y los teoremas de Bolzano, Weierstrass, Rolle y del valor medio.
Límites y asíntotas
- Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰.
- L'Hôpital solo tras comprobar 0/0 o ∞/∞; en cocientes de polinomios basta comparar grados.
- Con raíces, multiplicar y dividir por el conjugado.
- En 1^∞, lim (1 + f)^g = e^(lim f·g).
- Asíntota vertical: límite infinito en un punto finito; horizontal: límite finito en ±∞; oblicua y = mx + n con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) − mx).
Continuidad y derivabilidad
- Continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.
- Discontinuidad evitable (límite finito distinto de f(a)), de salto (límites laterales finitos y distintos) o asintótica.
- f'(a) = lim (f(x) − f(a))/(x − a). Derivable implica continua; el recíproco falla: |x| en 0.
- En funciones definidas a trozos hay que estudiar límites laterales y derivadas laterales en el punto de empalme.
Ejemplo resuelto
Hallar a y b para que f sea derivable: f(x) = x² + ax + b si x ≤ 0; f(x) = eˣ + x si x > 0.
Continuidad en 0: f(0) = b; límite por la izquierda, b; por la derecha, e⁰ + 0 = 1. Luego b = 1.
Derivabilidad: por la izquierda f'(x) = 2x + a, f'(0⁻) = a; por la derecha f'(x) = eˣ + 1, f'(0⁺) = 2. Deben coincidir: a = 2. Con a = 2 y b = 1 la función es derivable en 0 y f'(0) = 2.
Errores que restan puntos
- Aplicar L'Hôpital en indeterminaciones que no son 0/0 ni ∞/∞, o derivar mal dentro de la regla.
- Concluir que una función es derivable sin comprobar antes la continuidad en el punto.
- Olvidar el dominio: ln x exige x > 0 y las raíces de índice par, radicando no negativo.
- Dar un extremo por válido solo con f'(x) = 0, sin estudiar el cambio de signo o la segunda derivada.
- Confundir asíntota horizontal con oblicua cuando la función se acerca a una recta no horizontal.