Cálculo integral y aplicaciones
El cálculo integral evalúa primitivas (inmediatas, por sustitución, por partes y racionales), la regla de Barrow y aplicaciones geométricas: área entre curvas y volumen de revolución. Los problemas de la PAU vasca suelen dar dos funciones y pedir el recinto limitado, o una función y el volumen al girar alrededor de un eje.
Primitivas
- Tabla: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) si n ≠ −1; 1/x → ln|x|; eˣ → eˣ; 1/(1 + x²) → arctan x.
- Sustitución: en una integral definida hay que cambiar también los límites o deshacer el cambio antes de aplicar Barrow.
- Por partes: ∫u dv = uv − ∫v du. Se toma u = polinomio frente a exponencial o trigonométrica, y u = ln x o arctan x cuando aparecen.
- Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, dividir primero; después, fracciones simples con las raíces del denominador.
Barrow, áreas y volúmenes
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), con F primitiva de f.
- Área entre f y g: se resuelven f(x) = g(x), se ordenan los cortes y se integra |f − g| en cada intervalo.
- Volumen al girar y = f(x) alrededor del eje OX entre a y b: V = π∫ₐᵇ f(x)² dx.
Ejemplo resuelto
Área del recinto limitado por y = x² y la recta y = x + 2.
Cortes: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 y x = −1. Entre ambos la recta va por encima (en x = 0, 2 > 0), así que
Área = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2.
Errores que restan puntos
- No restar F(a) al aplicar Barrow o equivocarse en los signos al evaluar.
- Integrar sin dividir en los puntos de corte, de modo que se restan áreas en lugar de sumarlas.
- Olvidar el factor π en el volumen de revolución o elevar al cuadrado solo una parte de la función.
- No cambiar los límites de integración al hacer una sustitución.
- Tratar 1/x como x⁰/0 en lugar de ln|x|.