Probabilidad y estadística
Este bloque evalúa probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total y teorema de Bayes, junto con las distribuciones binomial y normal, incluida la tipificación y el uso de tablas. Es habitual un problema con dos máquinas o dos urnas, y otro de conteo o de cálculo de probabilidades con una normal.
Probabilidad y condicionada
- Laplace: P(A) = casos favorables/casos posibles, solo si los sucesos elementales son equiprobables.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); incompatibles si P(A ∩ B) = 0.
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0. Independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B), equivalente a P(A|B) = P(A).
- Contrario: P(Ā) = 1 − P(A); «al menos uno» se calcula como complementario de «ninguno».
Probabilidad total y Bayes
- Con una partición A₁, …, Aₙ: P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ).
- Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B). Un árbol de probabilidad o una tabla de contingencia evitan casi todos los errores.
Binomial y normal
- B(n, p): P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ; media np y varianza np(1 − p).
- N(μ, σ): se tipifica Z = (X − μ)/σ y se usa la tabla de la normal estándar; P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a).
- Aproximación de binomial a normal si np > 5 y n(1 − p) > 5, con corrección de continuidad de ±0,5.
Ejemplo resuelto
La máquina A fabrica el 60 % de las piezas con un 3 % de defectuosas; la B, el 40 % con un 5 %.
P(defectuosa) = 0,6·0,03 + 0,4·0,05 = 0,018 + 0,020 = 0,038.
P(A | defectuosa) = 0,6·0,03/0,038 = 0,018/0,038 ≈ 0,474: cerca del 47,4 % de las piezas defectuosas proceden de A.
Errores que restan puntos
- Invertir la condicionada: calcular P(A|B) cuando se pide P(B|A).
- Confundir sucesos independientes con incompatibles.
- En binomial, olvidar el coeficiente C(n, k) o interpretar «al menos uno» como P(X = 1).
- No tipificar la normal o dividir por la media en lugar de por la desviación típica.
- Usar la tabla con valores negativos sin aplicar la simetría P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a).