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Concours Administrateur de l'INSEE (INSED) practice questions

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Question 1Mathématiques et statistiques

Dans un sondage, on interroge 400 personnes tirées au sort dans une population très grande. La proportion observée d'intentions de vote pour un candidat est de 0,32. Quelle est la valeur approchée de l'écart-type de la proportion observée sous l'hypothèse d'un échantillonnage aléatoire simple ?

  1. 0,0233 Correct answer.
  2. 0,32
  3. 0,00054
  4. 0,08

Explanation

L'écart-type de la fréquence observée vaut racine de p(1-p)/n. Ici p(1-p)=0,32×0,68=0,2176, divisé par 400 donne 0,000544, dont la racine carrée vaut environ 0,0233.

Question 2Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ = 3. Que valent l'espérance et la variance de X ?

  1. Espérance 3 et variance 9
  2. Espérance 9 et variance 3
  3. Espérance 3 et variance 3 Correct answer.
  4. Espérance racine de 3 et variance 3

Explanation

Pour une loi de Poisson de paramètre λ, l'espérance et la variance sont toutes deux égales à λ. Avec λ = 3, les deux moments valent donc 3.

Question 3Mathématiques et statistiques

On estime la moyenne μ d'une population normale par la moyenne d'un échantillon de taille n = 25, avec un écart-type population connu σ = 10. Quelle est la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 % pour μ ?

  1. 2,06
  2. 0,78
  3. 1,96
  4. 3,92 Correct answer.

Explanation

L'écart-type de la moyenne vaut σ/racine de n = 10/5 = 2. La demi-largeur à 95 % vaut 1,96 × 2 = 3,92, le quantile 1,96 étant utilisé puisque σ est connu.

Question 4Mathématiques et statistiques

Dans un modèle de régression linéaire simple estimé par moindres carrés ordinaires, quelle propriété est toujours vraie pour la droite estimée lorsqu'un terme constant est inclus ?

  1. Le coefficient de détermination R² vaut 1
  2. La somme des carrés des résidus est nulle
  3. La somme des résidus est nulle Correct answer.
  4. Les résidus sont tous de même signe

Explanation

La condition du premier ordre par rapport à la constante impose que la somme des résidus estimés soit nulle. C'est une propriété algébrique de l'estimation par moindres carrés ordinaires avec constante.

Question 5Mathématiques et statistiques

Un test d'hypothèse bilatéral est réalisé au seuil de 5 %. La p-value calculée vaut 0,03. Quelle conclusion est correcte ?

  1. On accepte H0 avec une probabilité de 97 %
  2. On doit augmenter le seuil à 3 % pour rejeter H0
  3. On rejette H0 au seuil de 5 % Correct answer.
  4. On ne peut pas conclure sans connaître la taille d'échantillon

Explanation

La règle de décision rejette H0 lorsque la p-value est inférieure au seuil fixé. Ici 0,03 < 0,05, donc on rejette H0 au seuil de 5 %.

Question 6Mathématiques et statistiques

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x² ln(x) ?

  1. x²/x
  2. x(2 ln(x) + 1) Correct answer.
  3. 2x ln(x)
  4. 2x + 1/x

Explanation

On applique la règle du produit : f'(x) = 2x ln(x) + x² × (1/x) = 2x ln(x) + x = x(2 ln(x) + 1).

Question 7Mathématiques et statistiques

Dans une population, 60 % des individus possèdent le caractère A et 30 % le caractère B, les deux caractères étant indépendants. Quelle est la proportion d'individus possédant à la fois A et B ?

  1. 0,9
  2. 0,45
  3. 0,18 Correct answer.
  4. 0,3

Explanation

L'indépendance implique que la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. On calcule 0,6 × 0,3 = 0,18.

Question 8Mathématiques et statistiques

Une série de salaires annuels comporte quelques très hauts revenus qui tirent la distribution vers la droite. Quel indicateur de tendance centrale décrit le mieux le salaire typique ?

  1. L'étendue
  2. La moyenne arithmétique
  3. La médiane Correct answer.
  4. Le maximum

Explanation

La médiane résiste aux valeurs extrêmes car elle ne dépend que du rang des observations. La moyenne, sensible aux queues de distribution, est tirée vers le haut par les très hauts revenus.

Question 9Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire d'espérance 5 et de variance 4. On pose Y = 3X - 2. Que valent l'espérance et la variance de Y ?

  1. Espérance 13 et variance 36 Correct answer.
  2. Espérance 13 et variance 4
  3. Espérance 13 et variance 12
  4. Espérance 15 et variance 10

Explanation

L'espérance est linéaire : E(Y) = 3×5 - 2 = 13. La variance est multipliée par le carré du coefficient : Var(Y) = 3² × 4 = 36, la constante ne modifiant pas la variance.

Question 10Mathématiques et statistiques

On dispose d'un échantillon de taille n = 16 issu d'une population normale d'écart-type inconnu. Pour tester la moyenne contre une valeur de référence, quelle loi utiliser sous H0 pour la statistique de Student ?

  1. Une loi du chi-deux à 15 degrés de liberté
  2. Une loi de Student à 15 degrés de liberté Correct answer.
  3. Une loi de Student à 16 degrés de liberté
  4. Une loi normale centrée réduite

Explanation

Lorsque l'écart-type est estimé par l'écart-type empirique, la statistique suit une loi de Student à n-1 degrés de liberté. Avec n = 16, cela donne 15 degrés de liberté.

Question 11Mathématiques et statistiques

Dans un modèle de régression linéaire multiple, on observe un R² élevé mais un R² ajusté nettement plus faible après ajout de plusieurs variables. Quelle interprétation est la plus pertinente ?

  1. Le R² ajusté ne peut jamais être inférieur au R²
  2. Les variables ajoutées expliquent peu de variance au regard du coût en degrés de liberté Correct answer.
  3. Les variables ajoutées sont toutes significatives
  4. Le modèle est nécessairement mal spécifié

Explanation

Le R² ajusté pénalise l'ajout de régresseurs en tenant compte des degrés de liberté consommés. Un écart important avec le R² suggère que les variables ajoutées apportent peu d'information réelle.

Question 12Mathématiques et statistiques

On considère un échantillon de taille n = 100. On souhaite tester l'égalité de deux proportions observées, 0,40 et 0,30, dans deux sous-populations indépendantes de 100 individus chacune. Quelle statistique de test approximative utilise-t-on classiquement ?

  1. Un test de Fisher exact sur les moyennes
  2. Un test de Student sur les variances
  3. Un test du chi-deux d'indépendance sur un tableau 2×2 Correct answer.
  4. Un test de Wilcoxon sur les rangs

Explanation

Comparer deux proportions sur deux échantillons indépendants revient à tester l'indépendance dans un tableau de contingence 2×2. Le test du chi-deux y est équivalent au test de différence de proportions pour de grands effectifs.

Question 13Mathématiques et statistiques

Une suite (u_n) est définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 0,5 u_n + 2. Quelle est la limite de cette suite ?

  1. La suite diverge vers +∞
  2. 1
  3. 2
  4. 4 Correct answer.

Explanation

Le point fixe vérifie L = 0,5L + 2, soit 0,5L = 2 et L = 4. Comme le coefficient 0,5 est de valeur absolue inférieure à 1, la suite converge vers ce point fixe.

Question 14Mathématiques et statistiques

On estime par maximum de vraisemblance la probabilité p d'une loi de Bernoulli à partir de n observations indépendantes. Quel estimateur obtient-on ?

  1. La moyenne empirique des observations Correct answer.
  2. La médiane empirique
  3. Le maximum observé divisé par n
  4. La variance empirique des observations

Explanation

La log-vraisemblance d'un échantillon de Bernoulli s'écrit en fonction du nombre de succès. Sa maximisation donne le nombre de succès divisé par n, c'est-à-dire la moyenne empirique.

Question 15Mathématiques et statistiques

Dans un sondage, la marge d'erreur à 95 % pour une proportion est d'environ 3 %. Pour diviser cette marge par deux, quel facteur doit multiplier la taille de l'échantillon ?

  1. 4 Correct answer.
  2. 2
  3. 8
  4. 16

Explanation

La marge d'erreur est proportionnelle à 1/racine de n. Pour la diviser par deux, il faut multiplier n par 2² = 4, puisque la racine carrée de 4 vaut 2.

Question 16Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire normale de moyenne 10 et d'écart-type 2. Quelle est la probabilité P(X > 14) ?

  1. Environ 0,977
  2. Environ 0,159
  3. Environ 0,023 Correct answer.
  4. Environ 0,841

Explanation

On centre et réduit : (14-10)/2 = 2. La probabilité P(Z > 2) pour une loi normale centrée réduite vaut environ 0,0228, soit 0,023.

Question 17Mathématiques et statistiques

Un tableau croisé 3×4 est analysé par un test du chi-deux d'indépendance. Quel est le nombre de degrés de liberté ?

  1. 5
  2. 6 Correct answer.
  3. 12
  4. 7

Explanation

Pour un tableau de contingence à r lignes et c colonnes, le nombre de degrés de liberté vaut (r-1)(c-1). Ici (3-1)(4-1) = 2×3 = 6.

Question 18Mathématiques et statistiques

On dispose de deux estimateurs sans biais de la même quantité. L'un a une variance de 4, l'autre de 9. Lequel est préféré au sens du critère usuel et pourquoi ?

  1. Celui de variance 9, car il est plus dispersé
  2. Celui de variance 4, car il est le seul sans biais
  3. Celui de variance 4, car sa moyenne quadratique d'erreur est plus faible Correct answer.
  4. Les deux sont équivalents car tous deux sans biais

Explanation

Pour deux estimateurs sans biais, l'erreur quadratique moyenne se réduit à la variance. Le plus performant est donc celui de variance la plus faible, soit 4.

Question 19Mathématiques et statistiques

On considère la série des taux de croissance trimestriels du PIB d'un pays. On souhaite lisser ces données pour en dégager la tendance. Quelle méthode est la plus adaptée parmi les suivantes ?

  1. Un ajustement par moyennes mobiles centrées Correct answer.
  2. Une régression logistique
  3. Un test du chi-deux d'ajustement
  4. Un test de comparaison de deux variances

Explanation

Les moyennes mobiles centrées sont une technique classique de lissage des séries temporelles, qui élimine les variations saisonnières et met en évidence la tendance. Les autres méthodes ne visent pas le lissage d'une série.

Question 20Mathématiques et statistiques

Soit f la fonction de deux variables définie par f(x,y) = x² + xy + y². Quel est le gradient de f au point (1, 2) ?

  1. (5, 4)
  2. (2, 1)
  3. (3, 4)
  4. (4, 5) Correct answer.

Explanation

Les dérivées partielles sont ∂f/∂x = 2x + y et ∂f/∂y = x + 2y. Au point (1,2), on obtient 2×1+2 = 4 et 1+2×2 = 5, soit le gradient (4,5).

Question 21Mathématiques et statistiques

On réalise une régression linéaire simple et l'on obtient un coefficient de détermination R² = 0,64. Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre les deux variables si la pente estimée est positive ?

  1. 0,8 Correct answer.
  2. 0,64
  3. 0,32
  4. 0,41

Explanation

En régression linéaire simple, R² est le carré du coefficient de corrélation. Comme la pente est positive, la corrélation l'est aussi et vaut racine de 0,64 = 0,8.

Question 22Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire d'espérance 0 et de variance 1. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quelle borne inférieure peut-on garantir pour P(|X| < 3) ?

  1. 8/9 Correct answer.
  2. 1/9
  3. 2/3
  4. 1/3

Explanation

L'inégalité donne P(|X| ≥ k) ≤ Var(X)/k². Avec k = 3 et Var(X) = 1, on obtient P(|X| ≥ 3) ≤ 1/9, donc P(|X| < 3) ≥ 8/9.

Question 23Mathématiques et statistiques

On estime une proportion p par intervalle de confiance à 95 %. Un intervalle calculé est [0,28 ; 0,42]. Quelle affirmation est correcte quant à l'interprétation fréquentiste ?

  1. La probabilité que p soit dans cet intervalle est de 95 %
  2. p est certainement égal à 0,35
  3. La méthode de construction produit des intervalles contenant p dans 95 % des échantillons répétés Correct answer.
  4. 95 % des individus de la population ont une proportion comprise entre 0,28 et 0,42

Explanation

Dans l'interprétation fréquentiste, c'est la procédure qui a une couverture de 95 % sur des échantillons répétés. Une fois l'intervalle calculé, p est fixe et l'on ne peut plus lui attribuer une probabilité de 95 %.

Question 24Mathématiques et statistiques

Dans un modèle de régression multiple, on soupçonne une forte colinéarité entre deux régresseurs. Quelle conséquence attendue est correcte ?

  1. Le R² devient nécessairement négatif
  2. L'estimateur des moindres carrés devient biaisé
  3. Les coefficients estimés deviennent fortement instables et leurs écarts-types augmentent Correct answer.
  4. La somme des résidus cesse d'être nulle

Explanation

La colinéarité rend la matrice des régresseurs presque singulière, ce qui gonfle les variances des coefficients estimés. Les estimations deviennent instables et sensibles aux fluctuations d'échantillonnage.

Question 25Mathématiques et statistiques

On considère une loi du chi-deux à k degrés de liberté. Que valent son espérance et sa variance ?

  1. Espérance 2k et variance k
  2. Espérance k et variance k
  3. Espérance k et variance 2k Correct answer.
  4. Espérance k/2 et variance k

Explanation

Une loi du chi-deux à k degrés de liberté a pour espérance k et pour variance 2k. Ces moments se déduisent de la somme de k carrés de variables normales centrées réduites indépendantes.

Question 26Mathématiques et statistiques

Dans le cadre d'une étude statistique publique, on considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x - 1)² e^x. Quelle est l'expression de sa dérivée f'(x) ?

  1. f'(x) = (x - 1)(x + 1) e^x Correct answer.
  2. f'(x) = (x - 1)² e^x
  3. f'(x) = (x² - 1) e^x
  4. f'(x) = 2(x - 1) e^x

Explanation

On applique la règle du produit : la dérivée de (x-1)² est 2(x-1), donc f'(x) = 2(x-1)e^x + (x-1)²e^x = (x-1)e^x(2 + x - 1) = (x-1)(x+1)e^x. On peut vérifier que f' s'annule en x = 1 et x = -1, ce qui correspond aux extremums de f.

Question 27Mathématiques et statistiques

Pour modéliser la croissance d'un indicateur, on étudie la suite (u_n) définie par u_0 = 3 et u_{n+1} = 2u_n - 1. Quelle est l'expression explicite de u_n ?

  1. u_n = 2^{n+1} - 1
  2. u_n = 2^{n+1} + 1
  3. u_n = 3 × 2^n - 1
  4. u_n = 2^n + 2 Correct answer.

Explanation

On pose v_n = u_n - 1, alors v_{n+1} = 2u_n - 2 = 2v_n, donc v_n = v_0 × 2^n = 2 × 2^n = 2^{n+1}. On en déduit u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1, ce qui se réécrit aussi 2 × 2^n + 1. Vérification : u_0 = 2 + 1 = 3 et u_1 = 2×3 - 1 = 5 = 4 + 1.

Question 28Mathématiques et statistiques

On étudie la fonction f(x, y) = x²y + xy² sur ℝ². Quelle est la valeur de la dérivée partielle croisée ∂²f/∂x∂y au point (1, 2) ?

  1. 10
  2. 12
  3. 6 Correct answer.
  4. 4

Explanation

On calcule d'abord ∂f/∂y = x² + 2xy, puis on dérive par rapport à x : ∂²f/∂x∂y = 2x + 2y. Au point (1, 2), cela donne 2 + 4 = 6. Le théorème de Schwarz garantit l'égalité avec ∂²f/∂y∂x.

Question 29Mathématiques et statistiques

Une entreprise produit des pièces dont la masse suit une loi normale de moyenne 500 g et d'écart-type 10 g. Quelle est la probabilité qu'une pièce tirée au hasard ait une masse comprise entre 490 g et 520 g ?

  1. Environ 0,82 Correct answer.
  2. Environ 0,95
  3. Environ 0,68
  4. Environ 0,99

Explanation

On centre et réduit : P(490 ≤ X ≤ 520) = P(-1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(-1) = Φ(2) + Φ(1) - 1. Avec Φ(2) ≈ 0,9772 et Φ(1) ≈ 0,8413, on obtient environ 0,8185, soit environ 0,82.

Question 30Mathématiques et statistiques

Dans une population, on observe que 5 % des individus sont porteurs d'une maladie rare. On prélève un échantillon de 400 individus. Quelle est l'écart-type de la fréquence observée de porteurs, sous l'hypothèse que la prévalence est bien de 5 % ?

  1. 0,0118
  2. 0,0109 Correct answer.
  3. 0,0475
  4. 0,05

Explanation

La fréquence observée F a pour variance p(1-p)/n, soit 0,05 × 0,95 / 400 = 0,0475 / 400 = 0,00011875. L'écart-type vaut donc la racine carrée, soit environ 0,0109.

Question 31Mathématiques et statistiques

Dans un test d'indépendance du chi-deux sur un tableau de contingence à 4 lignes et 3 colonnes, quel est le nombre de degrés de liberté ?

  1. 5
  2. 6 Correct answer.
  3. 11
  4. 12

Explanation

Pour un tableau r × c, le nombre de degrés de liberté est (r - 1)(c - 1). Ici, (4 - 1)(3 - 1) = 3 × 2 = 6. Ce nombre correspond au produit des dimensions diminuées chacune de un.

Question 32Mathématiques et statistiques

On souhaite tester H0 : μ = 100 contre H1 : μ ≠ 100 au seuil de 5 %, avec un échantillon de taille n = 25 issu d'une population normale d'écart-type connu σ = 10. Quelle est la valeur critique de la statistique de test (en valeur absolue) ?

  1. 2,064
  2. 1,96 Correct answer.
  3. 1,645
  4. 2,492

Explanation

L'écart-type est connu et la population est normale, donc la statistique Z = (x̄ - μ)/(σ/√n) suit une loi normale centrée réduite sous H0. Pour un test bilatéral au seuil de 5 %, on rejette si |Z| > 1,96 (quantile 0,975). La taille n = 25 n'intervient que dans le calcul de σ/√n.

Question 33Mathématiques et statistiques

Sur une série de données, on calcule un coefficient de corrélation linéaire r = -0,85 entre deux variables X et Y. Que peut-on affirmer ?

  1. X explique 85 % de la variance de Y
  2. La relation entre X et Y est faible car r est négatif
  3. Y augmente en moyenne quand X augmente
  4. La relation entre X et Y est forte et de sens décroissant Correct answer.

Explanation

Le coefficient r mesure l'intensité et le sens de la liaison linéaire. Une valeur de -0,85 indique une liaison linéaire forte et décroissante : quand X croît, Y tend à décroître. Le pourcentage de variance expliquée serait R² = r² = 0,7225, soit environ 72 %.

Question 34Mathématiques et statistiques

On considère une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre λ = 0,5. Quelle est la probabilité que X dépasse 4 ?

  1. Environ 0,865
  2. Environ 0,5
  3. Environ 0,135 Correct answer.
  4. Environ 0,018

Explanation

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, P(X > t) = e^{-λt}. Ici, P(X > 4) = e^{-0,5 × 4} = e^{-2} ≈ 0,1353. La fonction de répartition vaut 1 - e^{-λt}.

Question 35Mathématiques et statistiques

Dans une régression linéaire simple, on obtient l'équation ŷ = 2,5 + 0,8x. Quelle est l'interprétation correcte du coefficient 0,8 ?

  1. Quand y augmente d'une unité, x augmente en moyenne de 0,8 unité
  2. Le modèle explique 80 % de la variance de y
  3. La corrélation entre x et y vaut 0,8
  4. Quand x augmente d'une unité, ŷ augmente en moyenne de 0,8 unité Correct answer.

Explanation

Le coefficient 0,8 est la pente estimée : il mesure la variation moyenne de la variable expliquée ŷ pour une variation d'une unité de la variable explicative x. L'ordonnée à l'origine 2,5 correspond à la valeur prédite quand x = 0.

Question 36Mathématiques et statistiques

Une entreprise souhaite estimer la proportion p de clients satisfaits. Elle veut une marge d'erreur à 95 % d'au plus 2 %. En supposant p inconnu et en utilisant l'approximation normale, quelle taille d'échantillon minimale doit-elle prévoir ?

  1. Environ 1 000
  2. Environ 2 401 Correct answer.
  3. Environ 4 800
  4. Environ 9 604

Explanation

La marge d'erreur à 95 % vaut 1,96 × √(p(1-p)/n). La valeur maximale de p(1-p) est 0,25, atteinte pour p = 0,5. On résout 1,96 × √(0,25/n) ≤ 0,02, soit √n ≥ 1,96 × 0,5 / 0,02 = 49, d'où n ≥ 2 401.

Question 37Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 9. On pose Y = -2X + 5. Que valent E(Y) et Var(Y) ?

  1. E(Y) = -15 et Var(Y) = 18
  2. E(Y) = 25 et Var(Y) = 18
  3. E(Y) = -15 et Var(Y) = 36 Correct answer.
  4. E(Y) = -15 et Var(Y) = -36

Explanation

L'espérance est linéaire : E(Y) = -2 × 10 + 5 = -15. La variance ne retient que le carré du coefficient : Var(Y) = (-2)² × 9 = 4 × 9 = 36. Une variance est toujours positive, ce qui exclut une valeur négative.

Question 38Mathématiques et statistiques

On estime une proportion p par un intervalle de confiance à 95 % de la forme [0,28 ; 0,42]. Quelle affirmation est la plus juste ?

  1. p est certainement compris entre 0,28 et 0,42
  2. La fréquence observée est de 0,35 avec une probabilité de 95 %
  3. La probabilité que p soit dans [0,28 ; 0,42] est de 95 %
  4. Si l'on répète l'échantillonnage, environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient p Correct answer.

Explanation

L'interprétation fréquentiste correcte porte sur la procédure : si l'on répétait l'échantillonnage un grand nombre de fois, environ 95 % des intervalles calculés contiendraient la vraie valeur p. Une fois l'intervalle observé fixé, p y est ou n'y est pas, on ne peut pas lui attribuer une probabilité conditionnelle.

Question 39Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire d'espérance 0 et de variance 1. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, quelle borne inférieure peut-on garantir pour P(|X| ≤ 3) ?

  1. 1/3
  2. 2/3
  3. 1/9
  4. 8/9 Correct answer.

Explanation

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev énonce P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ Var(X)/k². Ici, P(|X| ≥ 3) ≤ 1/9, donc par complémentaire P(|X| ≤ 3) ≥ 1 - 1/9 = 8/9. Cette borne est valable pour toute loi, mais souvent grossière.

Question 40Mathématiques et statistiques

Dans un modèle de régression linéaire multiple, deux régresseurs sont fortement colinéaires. Quelle est la conséquence la plus attendue sur l'estimation ?

  1. Le R² ajusté devient nécessairement négatif
  2. Le modèle devient non identifiable et ne peut pas être estimé
  3. Les variances estimées des coefficients augmentent fortement Correct answer.
  4. Les coefficients estimés deviennent biaisés

Explanation

La colinéarité n'empêche pas l'estimation par moindres carrés tant que la matrice X'X est inversible, mais elle gonfle les variances des coefficients et rend les estimations instables. Les coefficients restent sans biais sous les hypothèses classiques, mais leur précision se dégrade.

Question 41Mathématiques et statistiques

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. Que peut-on dire de la moyenne empirique X̄_n = (X_1 + ... + X_n)/n quand n tend vers l'infini ?

  1. Elle converge en probabilité vers 1
  2. Elle converge en probabilité vers 1/2 Correct answer.
  3. Elle suit une loi uniforme sur [0, 1]
  4. Elle converge presque sûrement vers 0

Explanation

Les variables sont indépendantes, identiquement distribuées, d'espérance E(X_i) = 1/2. La loi des grands nombres assure que la moyenne empirique converge en probabilité (et presque sûrement) vers l'espérance, soit 1/2. Le théorème central limite précise en plus sa vitesse de fluctuation en √n.

Question 42Mathématiques et statistiques

On considère un échantillon de taille n = 64 issu d'une population normale d'écart-type σ = 8. On veut tester H0 : μ = 50 contre H1 : μ > 50 au seuil de 5 %. La moyenne observée est 52. Quelle décision prend-on ?

  1. On ne peut pas conclure sans connaître la variance de l'échantillon
  2. On ne rejette pas H0 car 52 est proche de 50
  3. On rejette H0 car la statistique de test dépasse 1,96
  4. On rejette H0 car la statistique de test dépasse 1,645 Correct answer.

Explanation

La statistique vaut Z = (52 - 50)/(8/√64) = 2/1 = 2. Pour un test unilatéral à droite au seuil de 5 %, la valeur critique est 1,645. Comme 2 > 1,645, on rejette H0 au seuil de 5 %.

Question 43Mathématiques et statistiques

Dans une régression linéaire simple, la somme des résidus des moindres carrés (avec constante) est nulle. Quelle propriété en découle directement ?

  1. La pente estimée est toujours positive
  2. La droite de régression passe par le point moyen (x̄, ȳ) Correct answer.
  3. Le R² est nécessairement égal à 1
  4. Les résidus sont distribués normalement

Explanation

Lorsque la somme des résidus est nulle et que le modèle comporte une constante, la droite ajustée vérifie ȳ = â + b̂ x̄ : elle passe par le point moyen des données. Cette propriété découle des conditions du premier ordre des moindres carrés.

Question 44Mathématiques et statistiques

On considère la fonction f(x) = ln(1 + x²) définie sur ℝ. Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. f'(x) = 1/(1 + x²)
  2. f'(x) = 2x/(1 + x²) Correct answer.
  3. f'(x) = x²/(1 + x²)
  4. f'(x) = 2x ln(1 + x²)

Explanation

On applique la formule de dérivation d'une composée : la dérivée de ln(u) est u'/u avec u = 1 + x², donc u' = 2x. On obtient f'(x) = 2x/(1 + x²). Cette dérivée est négative pour x < 0 et positive pour x > 0, cohérent avec un minimum en 0.

Question 45Mathématiques et statistiques

On dispose de deux estimateurs sans biais T1 et T2 de la même quantité θ, de variances respectives Var(T1) = 4 et Var(T2) = 9. On forme l'estimateur T = 0,6 T1 + 0,4 T2 avec T1 et T2 indépendants. Que vaut Var(T) ?

  1. 6,5
  2. 2,4
  3. 3,24
  4. 2,88 Correct answer.

Explanation

Sous indépendance, Var(aT1 + bT2) = a²Var(T1) + b²Var(T2). On obtient 0,36 × 4 + 0,16 × 9 = 1,44 + 1,44 = 2,88. T reste sans biais car la somme des coefficients vaut 1.

Question 46Mathématiques et statistiques

On observe une série chronologique trimestrielle. On souhaite dégager la tendance de long terme en éliminant les variations saisonnières. Quelle méthode est la plus adaptée ?

  1. Calculer la médiane de la série brute
  2. Trier les valeurs par ordre croissant
  3. Régresser la série sur une indicatrice trimestrielle unique
  4. Calculer les moyennes mobiles centrées d'ordre 4 Correct answer.

Explanation

Une moyenne mobile centrée d'ordre 4 (égale à la période saisonnière) lisse la série en neutralisant les effets saisonniers, ce qui fait apparaître la tendance. On peut ensuite estimer les coefficients saisonniers par rapport à cette tendance.

Question 47Mathématiques et statistiques

Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ = 3. Quelle est la valeur de P(X = 0) ?

  1. Environ 0,1494
  2. Environ 0,0498 Correct answer.
  3. Environ 0,9502
  4. Environ 0,2240

Explanation

Pour une loi de Poisson de paramètre λ, P(X = k) = e^{-λ} λ^k / k!. Pour k = 0, cela donne e^{-3} ≈ 0,0498. On note que P(X ≥ 1) = 1 - e^{-3} ≈ 0,9502.

Question 48Mathématiques et statistiques

Dans un sondage, on dispose d'un échantillon de n = 1 000 et d'une fréquence observée de 0,30. Quelle est la valeur approximative de l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion ?

  1. [0,29 ; 0,31]
  2. [0,27 ; 0,33]
  3. [0,25 ; 0,35]
  4. [0,28 ; 0,32] Correct answer.

Explanation

La marge d'erreur vaut 1,96 × √(0,30 × 0,70 / 1 000) ≈ 1,96 × 0,0145 ≈ 0,0284. L'intervalle est donc environ [0,30 - 0,028 ; 0,30 + 0,028], soit [0,272 ; 0,328], que l'on arrondit à [0,28 ; 0,32].

Question 49Mathématiques et statistiques

On considère la matrice A = [[2, 1], [1, 2]]. Quelles sont ses valeurs propres ?

  1. 0 et 4
  2. 2 et 2
  3. -1 et 3
  4. 1 et 3 Correct answer.

Explanation

Le polynôme caractéristique est det(A - λI) = (2 - λ)² - 1 = λ² - 4λ + 3 = (λ - 1)(λ - 3). Les valeurs propres sont donc 1 et 3. La trace vaut 4 (somme des valeurs propres) et le déterminant vaut 3 (produit), ce qui confirme le résultat.

Question 50Mathématiques et statistiques

On considère la fonction f(x) = x³ - 3x. Sur quel intervalle f est-elle décroissante ?

  1. Sur ]1, +∞[
  2. Sur ]-1, 1[ Correct answer.
  3. Sur ]-∞, -1[
  4. Sur ℝ tout entier

Explanation

On calcule f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). La dérivée est négative entre les racines -1 et 1, donc f est décroissante sur ]-1, 1[. Elle est croissante en dehors de cet intervalle.