Lancer franc au basket : le modèle parabolique est-il valide ?
Lors d'un match, un joueur de 1,95 m tire un lancer franc. Une caméra filmant à 50 images par seconde permet de repérer le centre de la balle image par image. À la date t = 0, la balle quitte les mains à une hauteur de 2,30 m, à 4,20 m du centre du panier ; l'anneau est à 3,05 m du sol. Le dépouillement donne un angle de tir de 52° au-dessus de l'horizontale, une vitesse initiale de 7,6 m/s et une durée de vol de 0,94 s avant le passage dans l'anneau : le tir est réussi. L'entraîneur affirme que, « dans un modèle sans frottement, ce tir était juste un peu trop fort ». Un élève propose de négliger la résistance de l'air et la rotation de la balle, de modéliser la balle par un point matériel et de prendre g = 9,81 m/s². Son camarade objecte que la balle, de masse 0,60 kg et de diamètre 24 cm, est loin d'être ponctuelle et que l'air n'est pas négligeable à cette vitesse.
1. Établir l'équation de la trajectoire dans le modèle sans frottement, puis calculer la vitesse initiale qui amènerait exactement la balle au centre du panier pour un angle de 52°.
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Référentiel terrestre supposé galiléen, balle ponctuelle, frottements négligés. Avec l'origine au sol sous le point de lancer : x(t) = v₀ cos θ · t et y(t) = h + v₀ sin θ · t − ½ g t². En éliminant t = x/(v₀ cos θ) : y(x) = h + x tan θ − g x²/(2 v₀² cos² θ).
Condition de passage au centre du panier : y = 3,05 m pour x = 4,20 m, avec h = 2,30 m et θ = 52°. x tan θ = 4,20 × 1,280 = 5,38 m ; g x²/(2 cos² θ) = 9,81 × 17,64/(2 × 0,379) = 228 m³·s⁻². D'où 3,05 = 2,30 + 5,38 − 228/v₀², soit 228/v₀² = 4,63, v₀² = 49,3 et v₀ = 7,0 m·s⁻¹. Contrôle de cohérence : la durée de vol vaut alors t = 4,20/(7,0 × 0,616) = 0,97 s, ordre de grandeur plausible pour un lancer franc.
2. À partir de la vitesse réellement mesurée (7,6 m/s), montrer que le modèle sans frottement est incompatible avec le tir observé.
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À v₀ = 7,6 m·s⁻¹ et au même x = 4,20 m, le modèle donnerait : y = 2,30 + 5,38 − 228/7,6² = 2,30 + 5,38 − 3,95 = 3,73 m, soit 0,68 m au-dessus de l'anneau (3,05 m). La balle passerait largement au-dessus du panier et ne pourrait pas entrer.
Second indicateur : la durée de vol prévue serait t = 4,20/(7,6 × 0,616) = 0,90 s, alors que la vidéo donne 0,94 s.
Conclusion : les deux signatures d'un ralentissement en vol sont présentes - il faut une vitesse initiale supérieure à 7,0 m·s⁻¹ pour retomber au même endroit, et le vol dure plus longtemps que ne le prédit la parabole. Le modèle de chute libre est donc rejeté par les mesures ; la résistance de l'air ne peut pas être négligée.
3. Estimer l'ordre de grandeur de la force de frottement de l'air et expliquer en quoi l'affirmation de l'entraîneur est mal formulée.
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Ordre de grandeur. F ≈ ½ ρ C_d A v², avec ρ = 1,2 kg·m⁻³, C_d ≈ 0,5, A = π r² ≈ 0,045 m² et v ≈ 7,6 m·s⁻¹ : F ≈ 0,5 × 1,2 × 0,5 × 0,045 × 58 ≈ 0,8 N, soit une décélération F/m ≈ 1,3 m·s⁻². C'est plus de 10 % de g : l'effet est mesurable sur une seconde de vol, ce qui explique un écart de hauteur de plusieurs dizaines de centimètres.
Reformulation. Le tir n'est pas « trop fort » : c'est le modèle sans frottement qui surestime la portée. Avec la même vitesse réelle, il faudrait viser un angle plus élevé pour que la balle retombe au même point. L'écart de 0,7 m rappelle aussi les limites du modèle ponctuel : la balle a un diamètre de 24 cm et sa rotation (effet Magnus) courbe la trajectoire ; la vidéo à 50 images/s donne enfin une vitesse entachée d'une incertitude de l'ordre de 0,1 m·s⁻¹.