Diffraction laser : croire la mesure ou croire l'étiquette ?
Dans le cadre d'un projet, deux élèves doivent vérifier la largeur d'une fente fournie par le laboratoire et étiquetée « 100 µm ». Ils placent un écran blanc à D = 2,00 m de la fente et utilisent un laser hélium-néon de longueur d'onde λ = 633 nm. Sur l'écran, ils repèrent la tache centrale et mesurent, à la règle graduée en millimètres, une largeur de 3,6 cm entre les deux premières extinctions. Un élève s'exclame : « nos mesures sont fausses, ça ne peut pas donner 70 µm ». La règle a une résolution de 1 mm ; la distance D a été mesurée au mètre ruban avec une incertitude de ±1 cm. Le professeur propose alors de recommencer avec une ouverture calibrée de 100 µm, puis de changer la couleur du laser pour un modèle vert (532 nm) sans rien déplacer d'autre.
1. Calculer la largeur de la fente à partir des mesures et discuter l'écart avec la valeur annoncée.
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La largeur de la tache centrale est la distance entre les deux premières extinctions : L = 2λD/a, donc a = 2λD/L.
a = 2 × 633·10⁻⁹ × 2,00/0,036 = 2,53·10⁻⁶/0,036 = 7,0·10⁻⁵ m = 70 µm.
Discussion. La valeur annoncée est de 40 % supérieure. Pour retrouver 100 µm avec D = 2,00 m, il faudrait L = 2λD/a = 2,53·10⁻⁶/1,00·10⁻⁴ = 2,5 cm, très différent des 3,6 cm observés : l'écart ne peut pas venir d'une confusion de lecture, ni d'un décalage d'un millimètre. Deux hypothèses restent : soit la fente utilisée mesure réellement 70 µm, soit l'étiquette du fabricant ne correspond pas à la largeur de l'ouverture. C'est la mesure qui doit être examinée en priorité, en vérifiant D et la longueur d'onde.
2. Justifier la validité de l'approximation des petits angles et évaluer l'incertitude sur la valeur de a. Le désaccord avec 100 µm est-il significatif ?
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Petits angles. θ₁ ≈ L/(2D) = 0,036/4,00 = 9,0·10⁻³ rad. Pour cet angle, sin θ − tan θ ≈ θ³/2, soit un écart relatif de l'ordre de θ²/2 ≈ 4·10⁻⁵ : écrire sin θ ≈ tan θ ≈ θ est donc parfaitement légitime ici, l'erreur induite est négligeable devant celle de la règle.
Incertitudes. ΔL = 1 mm sur 36 mm, soit 2,8 % ; ΔD = 1 cm sur 2,00 m, soit 0,5 %. Comme a est proportionnel à D et inversement proportionnel à L, les contributions s'ajoutent : Δa/a ≈ 2,8 % + 0,5 % ≈ 3 %, d'où a = 70 ± 2 µm.
Conclusion. L'intervalle [68 ; 72] µm ne contient pas 100 µm. Le désaccord est significatif : il n'est pas imputable au hasard des mesures, mais à la fente elle-même ou à son étiquetage. Il faut refaire la mesure avec une ouverture certifiée pour trancher.
3. Prédire la largeur de la tache centrale avec le laser vert (532 nm), puis expliquer en quoi cette seconde mesure constitue un test de cohérence.
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Prévision. Seule la longueur d'onde change ; a, D et la géométrie restent identiques. Comme L = 2λD/a, L est proportionnel à λ : L' = L × λ'/λ = 3,6 × 532/633 = 3,0 cm. La tache centrale se resserre d'environ 16 %, ce qui est nettement visible à l'œil.
Test de cohérence. Si la nouvelle largeur mesurée vaut bien 3,0 cm, c'est la longueur d'onde qui pilote la figure : la disposition expérimentale est correcte et la valeur de a est fiable. Si la largeur ne varie pas, la figure observée n'est probablement pas une figure de diffraction (ou D a changé entre les deux mesures).
Remarque importante. La largeur a déduite de la mesure est indépendante de λ : quand λ augmente, L augmente dans les mêmes proportions, donc le rapport 2λD/L reste constant. Changer de laser ne permet donc pas de corriger un éventuel biais sur D, mais il révèle une erreur de méthode.