Constante de raideur d'un ressort : deux méthodes, un point aberrant
Lors d'une séance de TP, un binôme doit déterminer la constante de raideur k d'un ressort. Méthode statique : il suspend des masses marquées de 100 g, 200 g et 300 g et mesure l'allongement par rapport à la position du porte-masse vide, avec une règle verticale graduée en millimètres. Il trouve successivement 4,7 cm, 9,9 cm et 14,8 cm. Méthode dynamique : avec la masse de 200 g, il chronomètre 10 oscillations et lit 6,3 s ; les mesures faites avec 100 g et 300 g sont cohérentes avec celle-ci. Les deux élèves doivent rendre une seule valeur de k, assortie d'une incertitude, et justifier leur choix. Le professeur signale que le ressort a une masse non négligeable et que les plus grandes oscillations dépassaient 8 cm d'amplitude. Donnée : g = 9,81 N/kg.
1. Calculer k à partir de chacun des trois couples (masse, allongement) de la méthode statique et identifier l'éventuel point aberrant, en proposant une explication physique.
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À l'équilibre statique, k x = m g, donc k = m g/x.
- m = 0,100 kg, x = 0,047 m : k = 0,981/0,047 = 20,9 N·m⁻¹
- m = 0,200 kg, x = 0,099 m : k = 1,962/0,099 = 19,8 N·m⁻¹
- m = 0,300 kg, x = 0,148 m : k = 2,943/0,148 = 19,9 N·m⁻¹
Les deux dernières valeurs concordent à 0,5 %. La première s'en écarte de 5 %, alors que l'incertitude de lecture (1 mm sur 47 mm) n'est que de 2 % : ce point est aberrant.
Explication physique. Aux faibles allongements, toutes les spires ne sont pas décollées : le ressort se comporte comme s'il avait moins de spires actives, donc comme s'il était plus raide (pour 0,100 kg, l'allongement attendu avec k = 19,9 N·m⁻¹ serait 4,9 cm, et non 4,7 cm). L'écart disparaît dès que la charge sépare les spires. Il faut donc travailler au-delà d'un allongement minimal.
2. Exploiter la méthode dynamique pour trancher entre les valeurs, puis annoncer la valeur retenue avec son incertitude.
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Exploitation. T = 6,3/10 = 0,63 s. Pour un oscillateur élastique T = 2π√(m/k), donc : k = 4π² m/T² = 4π² × 0,200/0,63² = 7,90/0,397 = 19,9 N·m⁻¹.
Décision. La méthode dynamique, totalement indépendante de la méthode statique, retrouve exactement la valeur donnée par les points à 200 g et 300 g. C'est cet accord croisé, et non la proximité des nombres, qui permet d'écarter la valeur à 100 g : l'hypothèse d'une erreur de lecture isolée devient très improbable.
Valeur annoncée. k = 19,9 N·m⁻¹. L'incertitude est dominée par la mesure de la durée : avec ΔT ≈ 0,02 s sur 0,63 s, Δk/k = 2ΔT/T ≈ 6 %, soit Δk ≈ 1 N·m⁻¹. On annonce donc k = 20 ± 1 N·m⁻¹, en précisant la méthode et le domaine d'allongement utilisés.
3. Proposer deux améliorations du protocole et évaluer l'effet de la masse du ressort sur la valeur dynamique.
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Améliorations.
- Chronométrer 20 oscillations au lieu de 10 et déclencher le chronomètre au passage par la position d'équilibre (vitesse maximale, repérage plus net) : l'incertitude due au temps de réaction est divisée par deux et l'erreur de comptage devient négligeable.
- Vérifier la verticalité de la règle (parallaxe) et reprendre le zéro avec le porte-masse seul mais ressort déjà tendu, pour ne pas confondre allongement et longueur.
Effet de la masse du ressort. La période exacte s'écrit T = 2π√((m + m_s/3)/k), car le ressort oscille aussi. Avec m_s ≈ 15 g, la correction vaut m_s/3 = 5 g sur 200 g, soit 2,5 % : la valeur dynamique corrigée serait plutôt 20,4 N·m⁻¹. Négliger cette masse sous-estime donc légèrement k, mais l'effet reste bien inférieur à l'écart de 5 % observé sur le point à 100 g : la conclusion sur le point aberrant n'est pas remise en cause.