La cuve de la coopérative : un stage qui recommande la bonne solution pour une mauvaise raison
Une coopérative agricole commande une cuve cylindrique fermée, avec fond, couvercle et paroi latérale, destinée à stocker 500 L d'eau. Le métal est facturé au mètre carré de surface développée et le budget impose de réduire cette surface au minimum. On note r le rayon du fond, en mètres, et h la hauteur, en mètres. La contenance imposée vaut V = 0,5 m³ ; pour des raisons d'encombrement et de stabilité, le rayon doit rester compris entre 0,20 m et 0,80 m. Deux offres sont comparées : une cuve standard de rayon 0,40 m vendue 180 € l'unité, et une cuve sur mesure facturée 95 € par mètre carré de métal. Le stagiaire chargé du dossier écrit que la surface totale vaut S(r) = 2πr² + 0,5/r, calcule que cette surface est minimale pour r ≈ 0,34 m, puis recommande la cuve standard en affirmant qu'elle est moins chère que la cuve sur mesure.
1. Établir l'expression correcte de S(r), puis indiquer précisément l'erreur commise par le stagiaire et son effet sur le rayon optimal.
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Volume et hauteur. V = πr²h = 0,5, donc h = 0,5/(πr²).
Surface développée. Elle comprend les deux disques (fond + couvercle) et la paroi latérale :
S(r) = 2πr² + 2πrh
En remplaçant h : 2πrh = 2πr × 0,5/(πr²) = 1/r.
D'où S(r) = 2πr² + 1/r.
L'erreur. Le stagiaire a écrit 0,5/r : il n'a pas simplifié le 2π du périmètre par le π du volume. Son terme latéral est donc deux fois trop petit, ce qui fausse la dérivée et déplace l'optimum vers 0,34 m au lieu de 0,43 m. Une erreur d'un facteur 2 sur un terme n'est jamais anodine : elle change la valeur du minimum, même si elle ne change pas ici l'allure de la courbe.
2. Déterminer le rayon qui minimise la surface, calculer les coûts des deux offres, puis conclure sur la validité de la recommandation du stagiaire.
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Dérivée. S'(r) = 4πr − 1/r², qui s'annule pour 4πr³ = 1, soit r³ ≈ 0,0796 et r ≈ 0,430 m - valeur bien dans l'intervalle [0,20 ; 0,80].
Coût sur mesure. S(0,430) ≈ 2π(0,185) + 1/0,430 ≈ 1,162 + 2,326 ≈ 3,49 m², soit 3,49 × 95 ≈ 331 €.
Coût standard. S(0,40) = 2π(0,16) + 1/0,40 = 1,005 + 2,500 = 3,51 m², soit 333 € de métal… mais l'offre est un prix forfaitaire de 180 €.
Conclusion. Le stagiaire aboutit à la bonne décision par un raisonnement faux. Il fallait voir deux choses : d'une part la formule correcte, d'autre part que le prix forfaitaire, et non la surface, décide du classement. L'optimum est d'ailleurs presque plat (2 € d'écart de métal entre r = 0,40 et r = 0,43), très en dessous des tolérances de fabrication : optimiser la surface n'a ici aucun intérêt économique.
3. Sans nouveau calcul, justifier que S'(r) admet un unique zéro sur ]0 ; +∞[ et que ce zéro correspond bien à un minimum de S.
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S'(r) = 4πr − 1/r² = (4πr³ − 1)/r².
Sur ]0 ; +∞[, r² > 0 : le signe de S' est donc celui de 4πr³ − 1. La fonction r ↦ 4πr³ − 1 est strictement croissante (dérivée 12πr² > 0), vaut −1 en 0⁺ et tend vers +∞ : elle s'annule une seule fois, en r₀ = (1/4π)^(1/3).
S' < 0 sur ]0 ; r₀[ et S' > 0 sur ]r₀ ; +∞[ : S décroît puis croît, donc r₀ est bien un minimum global. Le calcul de limite confirme le comportement : S(r) → +∞ quand r → 0⁺ (le terme 1/r explose) et quand r → +∞ (le terme 2πr² domine). Un extremum unique sur un intervalle ouvert avec des limites infinies aux deux bords est nécessairement un minimum global.