Mathématiques - QCM du Concours Avenir
L'épreuve de mathématiques du Concours Avenir s'appuie sur le programme de spécialité mathématiques de première et de terminale : analyse, suites, probabilités et statistiques, géométrie vectorielle et dans l'espace, nombres complexes, arithmétique. Elle est posée en QCM : quatre propositions, une seule exacte, +3 points si la réponse est juste, −1 si elle est fausse, 0 en cas d'abstention. Conséquence directe : une erreur coûte trois fois plus qu'une non-réponse, donc on ne coche que ce que l'on peut justifier en quelques lignes.
Le socle à maîtriser
- Dérivation et composées : (uv)', (u/v)', (e^u)' = u'e^u, (ln u)' = u'/u ; commencer par le domaine de définition.
- Étude de fonction : limites, asymptotes, signe de f', tableau de variations, distinction abscisse / ordonnée du maximum.
- Intégrales : primitives usuelles, reconnaissance de u'e^u et u'/u, valeur moyenne, aire entre deux courbes.
- Suites : arithmétique, géométrique (somme, convergence si |q| < 1), récurrence, suite auxiliaire.
- Probabilités : conditionnelles, arbre pondéré, indépendance, loi binomiale, E(aX+b) et V(aX+b) = a²V(X).
- Géométrie : produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne de plan, distance point-plan.
- Complexes : module, argument, forme exponentielle, racines, interprétation géométrique.
Exemple rédigé
On étudie f(x) = ln(x)/x sur ]0 ; +∞[. f est dérivable et f'(x) = [(1/x)·x − ln(x)·1]/x² = (1 − ln x)/x². Le dénominateur est positif, donc f' a le signe de 1 − ln x : positif pour x < e, nul en x = e, négatif au-delà. f croît puis décroît ; son maximum vaut f(e) = 1/e, atteint en x = e. Un QCM proposant 1 ; e ; 1/e ; e² se tranche par la lecture de l'énoncé : « atteint son maximum en » demande l'abscisse, donc e ; la valeur 1/e est placée là pour sanctionner la confusion entre abscisse et ordonnée.
Les pièges qui coûtent des points
- Répondre par l'ordonnée du maximum quand la question porte sur l'abscisse.
- Valider une proposition hors du domaine de définition (ln, racine, dénominateur).
- Écrire V(2X+1) = 2V(X)+1 au lieu de 4V(X).
- Croire qu'une suite géométrique converge dès que la raison est négative : seul |q| < 1 garantit la convergence.
- Cocher une proposition « plausible » sans vérifier : une substitution numérique ou un retour à l'équation élimine souvent deux réponses.
- S'abstenir systématiquement : le hasard pur a une espérance nulle (0,25×3 − 0,75×1 = 0), mais dès qu'une proposition est éliminée l'espérance devient positive et il faut répondre.