Mathématiques appliquées : monopole, taxe et répercussion sur les prix
Une entreprise produit un bien en monopole. La demande inverse est p(q) = 120 - 2q, où q est la quantité en milliers d’unités et p le prix en euros. Le coût total est C(q) = q^3/3 - 5q^2 + 50q + 100, pour q dans [0, 40]. Le gouvernement envisage une taxe t euros par unité produite, à la charge du producteur. Le directeur financier affirme que la taxe sera intégralement répercutée sur le prix et que la production restera inchangée. Vous devez préparer une note pour le comité de direction. On vous demande de déterminer l’optimum sans taxe, puis avec t = 10, et de discuter l’affirmation du directeur. Vous disposez d’une calculatrice et de 45 minutes.
1. Déterminez la quantité et le prix d’équilibre du monopole sans taxe. Vérifiez les conditions du second ordre.
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Le profit s’écrit :
[\Pi(q)=p(q)q-C(q)=(120-2q)q-\left(\frac{q^3}{3}-5q^2+50q+100\right)]
En développant :
[\Pi(q)=120q-2q^2-\frac{q^3}{3}+5q^2-50q-100=-\frac{q^3}{3}+3q^2+70q-100]
La condition du premier ordre donne :
[\Pi'(q)=-q^2+6q+70=0]
soit (q^2-6q-70=0). Les racines sont (q=\frac{6\pm\sqrt{36+280}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{316}}{2}). La racine positive vaut :
[q\approx\frac{6+17{,}776}{2}\approx11{,}89]
Vérification du second ordre : (\Pi''(q)=-2q+6). En (q\approx11{,}89), (\Pi''\approx-17{,}78<0), donc il s’agit bien d’un maximum. Le prix correspondant est (p=120-2(11{,}89)\approx96{,}22) €. La quantité est exprimée en milliers d’unités : l’entreprise produit environ 11 890 unités.
2. Avec une taxe t = 10, calculez le nouvel optimum et discutez l’affirmation du directeur selon laquelle la taxe sera intégralement répercutée sur le prix.
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Avec la taxe (t=10), le coût devient (C(q)+10q). Le profit marginal est donc diminué de 10 :
[\Pi'(q)=-q^2+6q+70-10=-q^2+6q+60]
La condition (\Pi'(q)=0) donne (q^2-6q-60=0), soit :
[q=\frac{6+\sqrt{36+240}}{2}=\frac{6+16{,}613}{2}\approx11{,}31]
Le prix devient (p=120-2(11{,}31)\approx97{,}39) €.
Discussion. L’affirmation du directeur est fausse : le prix n’augmente que d’environ 1,17 €, soit un peu plus de 11 % du montant de la taxe. Le monopole absorbe donc l’essentiel de la taxe sous forme de marge réduite, parce que la demande est élastique et que la firme craint de perdre trop de volume. La production baisse d’environ 0,58 millier d’unités. Il faut toutefois nuancer : le taux de répercussion dépend de la courbure de la demande et de la fonction de coût ; avec une demande linéaire et un coût marginal croissant, la répercussion est généralement inférieure à 100 %. Le directeur confond donc incidence légale (la taxe est due par le producteur) et incidence économique (la charge est partagée avec les consommateurs).