Dimensionnement d'un réservoir cylindrique avec chutes de découpe
Un artisan doit fabriquer un réservoir cylindrique en inox de volume intérieur exactement 1,00 L, soit 1 000 cm³. Le fût latéral est découpé dans une tôle rectangulaire de dimensions 2πr et h, où r est le rayon et h la hauteur en cm. Les deux fonds circulaires sont découpés dans des carrés de côté 2r : chaque fond consomme donc 4r² de tôle, le reste étant de la chute. La tôle coûte 0,08 € par cm². L'atelier ne peut travailler que des rayons compris entre 3,0 cm et 8,0 cm, et la hauteur doit rester au moins égale à 8,0 cm pour permettre le montage d'un robinet. L'artisan veut choisir r pour minimiser la surface de tôle achetée, donc le coût, tout en respectant ces contraintes. Il envisage aussi de faire découper les fonds par un procédé qui réduirait la chute, mais il veut d'abord connaître le gain maximal possible dans le modèle actuel.
1. Exprimer la hauteur h en fonction de r, puis justifier que r appartient à l'intervalle [3,0 ; 6,3] cm environ, et non [3,0 ; 8,0].
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Le volume du cylindre vaut $V=\pi r^2 h=1000$ cm³, donc $h=\frac{1000}{\pi r^2}$.
La contrainte de hauteur s'écrit $h\ge 8$, soit $\frac{1000}{\pi r^2}\ge 8$, donc $r^2\le \frac{1000}{8\pi}\approx 39,79$, puis $r\le 6,31$ cm. Comme l'atelier impose aussi $r\ge 3,0$ cm, le domaine réel est $[3,0,;,6,31]$ cm. La borne supérieure de 8,0 cm est donc inutilisable : elle ne respecte pas la hauteur minimale de 8 cm.
2. Écrire la surface totale A(r) de tôle achetée et déterminer le rayon qui minimise A. Calculer h et le coût correspondant.
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La surface latérale vaut $2\pi r h$, et les deux fonds consomment $2\times 4r^2=8r^2$. Donc
$$A(r)=2\pi r\cdot \frac{1000}{\pi r^2}+8r^2=\frac{2000}{r}+8r^2.$$
Sur $[3,0,;,6,31]$, $A'(r)=-\frac{2000}{r^2}+16r$. L'annulation donne $16r^3=2000$, soit $r^3=125$ et $r=5,0$ cm. Alors $h=\frac{1000}{25\pi}\approx 12,7$ cm, ce qui respecte $h\ge 8$ cm.
$A(5)=400+200=600$ cm², d'où un coût de $600\times 0,08=48,0$ €. Les bornes donnent $A(3)\approx 738,7$ cm² et $A(6,31)\approx 635,8$ cm² : le minimum est bien intérieur.
3. Si les fonds pouvaient être découpés sans chute, la surface des fonds serait 2πr². Déterminer le nouveau rayon optimal et le gain de surface par rapport à la question 2. Commenter la sensibilité du choix industriel au modèle de découpe.
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On minimise alors $A_{\text{idéal}}(r)=\frac{2000}{r}+2\pi r^2$. Sa dérivée vaut $-\frac{2000}{r^2}+4\pi r$, qui s'annule pour $r^3=\frac{500}{\pi}\approx 159,2$, soit $r\approx 5,42$ cm. La hauteur devient $h=\frac{1000}{\pi(5,42)^2}\approx 10,8$ cm.
$A_{\text{idéal}}(5,42)\approx \frac{2000}{5,42}+2\pi(5,42)^2\approx 369,0+184,5=553,5$ cm². Le gain par rapport à 600 cm² est d'environ 46,5 cm², soit 7,8 % de tôle en moins.
Le rayon optimal ne change que de 0,4 cm, mais le modèle de découpe pèse directement sur le coût. Avant de changer de procédé, l'artisan doit comparer ce gain de 7,8 % au surcoût de découpe : la décision industrielle dépend plus du prix du procédé que du seul optimum mathématique.