Concours Geipi Polytech flashcards

31 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Dérivée de ln(x)

Sur l'intervalle ]0 ; +∞[, la fonction ln est dérivable et sa dérivée vaut 1/x. Pour une composée ln(u) avec u > 0, la dérivée est u'/u.

Discriminant d'un trinôme

Pour ax² + bx + c avec a ≠ 0, le discriminant vaut Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 il y a deux racines réelles, si Δ = 0 une racine double, si Δ < 0 aucune racine réelle.

Produit scalaire et orthogonalité

Dans un repère orthonormé, u·v = x_u x_v + y_u y_v. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Espérance de la loi binomiale

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = np et V(X) = np(1−p). L'espérance représente le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions.

Intervalle de fluctuation asymptotique

Au seuil 95 %, il s'écrit [p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n)]. On l'utilise pour décider si une fréquence observée est compatible avec la proportion théorique p.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a ; b]. L'unicité exige la stricte monotonie.

Forme exponentielle d'un complexe

Tout complexe non nul s'écrit z = r·e^(iθ) avec r = |z| et θ un argument. Alors z^n = r^n·e^(inθ), ce qui simplifie les puissances et les racines.

Équation différentielle y' = ay + b

Les solutions sur ℝ sont les fonctions x ↦ C·e^(ax) − b/a lorsque a ≠ 0, avec C constante réelle. La condition initiale y(0) = y₀ fixe C = y₀ + b/a.

Intégrale et aire sous la courbe

Si f est continue et positive sur [a ; b], l'intégrale de a à b de f(x)dx est l'aire, en unités d'aire, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

Loi normale centrée réduite

Si X suit N(μ, σ²), la variable Z = (X − μ)/σ suit la loi normale centrée réduite N(0,1). On lit alors les probabilités dans la table ou à la calculatrice.

Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison q si u_(n+1) = q·u_n. Alors u_n = u_0·q^n et, pour q ≠ 1, la somme des termes vaut u_0·(1 − q^(n+1))/(1 − q).

Réflexe de récurrence

Pour démontrer une propriété dépendant de n : vérifier l'initialisation au premier rang, puis supposer la propriété vraie au rang n et établir le rang n+1. La conclusion doit nommer le principe.

Fonction logarithme : propriétés algébriques

Pour a et b strictement positifs : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(a^n) = n·ln a. Ces règles servent à résoudre les équations exponentielle et logarithmique.

Vecteurs dans l'espace

Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul. Un plan est défini par un point et un vecteur normal qui lui est perpendiculaire.

Probabilités conditionnelles

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) pour P(A) > 0. La formule des probabilités totales exprime P(B) comme somme des P(A_i)·P(B|A_i) sur une partition de l'univers.

Fonction exponentielle : variations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, toujours positive, et e^0 = 1. Elle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = e^a·e^b.

Chaîne d'énergie

Elle regroupe les fonctions Alimenter, Distribuer, Convertir, Transmettre et Agir. Chaque bloc est caractérisé par sa puissance absorbée, sa puissance utile et son rendement.

Rendement d'un convertisseur

Le rendement est le rapport de la puissance utile fournie à la puissance absorbée, exprimé souvent en pourcentage. Il est toujours inférieur à 1 à cause des pertes (thermiques, mécaniques, magnétiques).

Conversion kWh en joules

Un kilowattheure correspond à 3,6 × 10^6 joules, car 1 000 W × 3 600 s = 3,6 × 10^6 J. Cette conversion est indispensable pour comparer factures d'énergie et calculs physiques.

Relation puissance-couple-vitesse

Pour un arbre tournant, P = C·ω avec ω = 2πn/60 si n est en tours par minute. P s'exprime en watts, C en newton-mètres et ω en radians par seconde.

Rapport de transmission engrenage

Le rapport vaut r = Z_roue_menée / Z_roue_menante, égal aussi au rapport des vitesses inverse. Un rapport supérieur à 1 réduit la vitesse et augmente le couple.

Loi des mailles

Dans un circuit fermé, la somme algébrique des tensions le long de la maille est nulle. On oriente les tensions et on affecte un signe selon le sens de parcours choisi.

Loi des nœuds

En un nœud d'un circuit, la somme des intensités des courants qui arrivent est égale à la somme des intensités des courants qui repartent, conséquence de la conservation de la charge.

Résistance thermique d'une paroi

Pour une paroi plane d'épaisseur e, de conductivité λ et de surface S, R = e/(λS) en kelvin par watt. Le flux thermique traversant vaut alors Φ = ΔT/R.

Critère de Shannon

Pour numériser correctement un signal dont la fréquence maximale est f_max, la fréquence d'échantillonnage doit être strictement supérieure au double de f_max, soit f_e > 2·f_max.

Résolution d'un convertisseur

Un CAN sur n bits découpant une tension pleine échelle U_PE a un quantum q = U_PE/2^n. La résolution augmente avec le nombre de bits, mais jamais au-delà de la précision du capteur.

Dilution d'une solution

Lors d'une dilution, la quantité de matière de soluté est conservée : c₁V₁ = c₂V₂. Le facteur de dilution est le rapport V₂/V₁ des volumes final et initial.

pH et concentration en ions oxonium

Le pH est défini par pH = −log[H₃O⁺], donc [H₃O⁺] = 10^(−pH) mol/L. Une solution est acide si pH < 7, basique si pH > 7, à 25 °C.

Produit ionique de l'eau

À 25 °C, [H₃O⁺]·[HO⁻] = 10⁻¹⁴, ce qui donne pH + pOH = 14. Cette relation permet de déduire la concentration en ions hydroxyde à partir du pH.

Capteur et conditionnement du signal

Un capteur convertit une grandeur physique en signal électrique. Le conditionneur (amplificateur, filtre) adapte ce signal avant la conversion analogique-numérique pour exploiter toute la plage du CAN.

Bilan de puissance d'une installation

La puissance absorbée totale est la somme des puissances de chaque récepteur. La puissance utile est celle réellement restituée à la charge ; l'écart correspond aux pertes dissipées.