Concours Geipi Polytech cheat sheet

Dérivées usuelles : (x^n)' = n·x^(n−1) ; (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x pour x > 0 ; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x ; (√x)' = 1/(2√x) pour x > 0.

Dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u'v − uv')/v² avec v ≠ 0 ; dérivée d'une composée : (u∘v)' = v'·u'(v).

Primitives : ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C si n ≠ −1 ; ∫dx/x = ln|x| + C ; ∫e^(kx) dx = e^(kx)/k + C.

Équation du second degré : Δ = b² − 4ac ; racines x = (−b ± √Δ)/(2a) si Δ ≥ 0 ; signe de ax² + bx + c opposé à a entre les racines.

Produit scalaire dans un repère orthonormé : u·v = x_u·x_v + y_u·y_v = ‖u‖‖v‖cos θ ; u ⊥ v équivaut à u·v = 0.

Loi binomiale B(n,p) : P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) ; E(X) = np ; V(X) = np(1−p).

Loi normale : si X suit N(μ, σ²), alors P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 ; P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954.

Intervalle de confiance au niveau 95 % pour une proportion : [f − 1/√n ; f + 1/√n], valable pour n ≥ 25 et 0,2 ≤ f ≤ 0,8.

Réflexes de rédaction attendus : justifier le domaine de validité, vérifier les hypothèses d'un théorème (continuité, dérivabilité), et conclure par une phrase reliant le résultat au problème posé.

Chaîne d'énergie : Alimenter → Distribuer → Convertir → Transmettre → Agir ; chaîne d'information : Acquérir → Traiter → Communiquer.

Rendement global d'une chaîne : η = P_utile / P_absorbée = produit des rendements des sous-ensembles ; pertes = P_absorbée − P_utile.

Énergie : W = P·t (joules si P en watts et t en secondes) ; 1 kWh = 3,6 × 10^6 J.

Transmission de puissance par arbre tournant : P = C·ω avec ω = 2πn/60 (n en tr·min⁻¹), P en watts, C en N·m.

Rapport de transmission d'un engrenage : r = Z_mené / Z_menant = n_menant / n_mené ; pour une poulie-courroie : r = D_menée / D_menante.

Loi des mailles : somme algébrique des tensions autour d'une maille fermée = 0 ; loi des nœuds : somme des courants entrants = somme des courants sortants.

Résistance thermique d'une paroi plane : R = e/(λ·S) en K·W⁻¹ ; flux thermique Φ = ΔT/R ; résistances en série additives, en parallèle 1/R = Σ1/R_i.

Traitement numérique du signal : échantillonnage à f_e > 2·f_max (critère de Shannon) ; résolution d'un CAN sur n bits : q = U_pleine_échelle / 2^n.

Chimie STL : concentration molaire c = n/V ; dilution c₁V₁ = c₂V₂ ; pH = −log[H₃O⁺] et [H₃O⁺]·[HO⁻] = 10⁻¹⁴ à 25 °C.