Chauffe-eau nomade : autonomie et diagnostic de tension
Un élève teste un chauffe-eau nomade destiné à une randonnée. Le pack batterie a une force électromotrice E = 24,0 V et une résistance interne r = 0,50 Ω. Il alimente une résistance chauffante marquée R = 6,0 Ω, immergée dans m = 0,50 kg d'eau à 18,0 °C. La capacité thermique massique de l'eau vaut c = 4,18 kJ·kg⁻¹·K⁻¹. Le rendement global du chauffage, pertes vers l'extérieur comprises, est estimé à 75 %. L'élève branche un voltmètre aux bornes de la batterie pendant le fonctionnement et lit U = 21,0 V. Il mesure aussi la résistance de l'élément à froid et retrouve 6,0 Ω. Il en conclut que la batterie est usée parce que la tension s'effondre. Le professeur lui demande de distinguer une chute de tension normale due au courant d'une défaillance de la batterie, puis de vérifier si l'élément chauffant se comporte comme prévu.
1. Calculer le courant et la tension aux bornes de la résistance si l'élément vaut réellement 6,0 Ω, puis estimer la durée nécessaire pour amener l'eau à 100 °C.
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Le circuit série comprend la batterie $(E,r)$ et la résistance $R$. Le courant vaut
$$I=\frac{E}{R+r}=\frac{24,0}{6,0+0,50}=3,69\ \text{A}.$$
La tension aux bornes de la résistance est $U_R=RI=6,0\times 3,69=22,2$ V. La puissance dissipée dans l'élément vaut $P_R=RI^2=6,0\times(3,69)^2=81,8$ W. Avec un rendement de 75 %, la puissance utile de chauffage est $P_u=0,75\times 81,8=61,4$ W.
L'énergie nécessaire pour chauffer l'eau de 18,0 °C à 100 °C est $Q=mc\Delta T=0,50\times 4180\times 82=1,71\times 10^5$ J. La durée théorique est donc $t=Q/P_u\approx 2,79\times 10^3$ s, soit environ 46,5 min. La tension 24 V n'est pas la tension de fonctionnement : une chute à 22,2 V est normale à cause de la résistance interne.
2. À partir de U = 21,0 V et des valeurs E et r, calculer le courant réel et la résistance externe équivalente. Que peut-on en déduire sur l'élément ou le circuit ?
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La loi des mailles donne $E=U+rI$, donc
$$I=\frac{E-U}{r}=\frac{24,0-21,0}{0,50}=6,0\ \text{A}.$$
La résistance externe équivalente est $R_{\text{ext}}=U/I=21,0/6,0=3,5\ \Omega$. Or, avec un élément de 6,0 Ω, on devrait avoir $U=22,2$ V et $I=3,69$ A. La lecture de 21,0 V implique donc un courant plus élevé que prévu, ce qui n'est pas le signe d'une batterie « morte » : la batterie débite davantage.
L'hypothèse la plus cohérente est un circuit externe de résistance plus faible que 6,0 Ω : deuxième résistance en parallèle, contact partiel, ou résistance de l'élément qui chute fortement à chaud. Une résistance interne anormalement élevée donnerait l'effet inverse : moins de courant et une tension plus basse. Il faut donc mesurer directement le courant et inspecter le câblage avant d'accuser la batterie.
3. Proposer une expérience simple pour départager les hypothèses et indiquer ce que l'élève devrait conclure si le courant mesuré vaut 3,7 A alors que U reste à 21,0 V.
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L'élève doit mesurer le courant avec une pince ampèremétrique ou un ampèremètre en série, et mesurer la force électromotrice de la batterie à vide. Il peut aussi débrancher l'élément et vérifier sa résistance à température ambiante, puis contrôler la présence d'un autre chemin de courant.
Si le courant mesuré vaut 3,7 A avec $U=21,0$ V, alors $R_{\text{ext}}=21,0/3,7\approx 5,68\ \Omega$, proche de 6 Ω : l'élément est plausible. Mais la chute interne vaut $24,0-21,0=3,0$ V, ce qui donnerait $r=3,0/3,7\approx 0,81\ \Omega$ si $E=24,0$ V. La résistance interne de la batterie serait donc plus élevée que 0,50 Ω, ou une résistance de contact s'ajouterait en série. La conclusion change : ce n'est pas l'élément qui est en cause, mais la batterie ou les connexions. Si la force électromotrice à vide est nettement inférieure à 24,0 V, la batterie est déchargée ou vieillissante.