Coffret en carton : la note du stagiaire est-elle défendable ?
Une PME de Bourgogne fabrique des coffrets en carton compact. Le modèle le plus vendu part d'une plaque rectangulaire de 40 cm sur 24 cm : on évide un carré de côté x aux quatre coins, puis on plie les rabats pour obtenir une boîte sans couvercle de hauteur x. L'atelier découpe au demi-centimètre et le service qualité impose un volume intérieur d'au moins 2 000 cm³.
Un stagiaire a rendu sa note de cadrage. Il propose x = 6,0 cm : la base mesurerait alors 28 cm sur 12 cm, « des proportions encore proches de la plaque d'origine », le volume vaudrait 2 016 cm³ et, puisque la base est la plus grande possible, ce serait forcément l'optimum.
Le responsable de production doute du raisonnement. Il veut trancher avant le lancement de la série : le réglage actuel de la découpe est x = 6,0 cm, le modifier coûte 900 €, et la direction n'accepte cette dépense que si le volume augmente d'au moins 3 %. Il vous demande une réponse chiffrée, pas un avis.
1. Étudier la fonction V(x) sur son intervalle de définition et déterminer la valeur de x qui maximise réellement le volume. Que vaut ce volume maximal, et que penser de l'argument du stagiaire ?
Read the worked answer
Domaine. Les deux dimensions restantes doivent être strictement positives : 40 − 2x > 0 et 24 − 2x > 0, donc x < 12 cm - c'est la largeur qui contraint, pas la longueur. On travaille sur ]0 ; 12[.
Expression. V(x) = x(40 − 2x)(24 − 2x) = x(960 − 128x + 4x²) = 4x³ − 128x² + 960x.
Dérivée. V'(x) = 12x² − 256x + 960 = 4(3x² − 64x + 240). Discriminant : 64² − 4×3×240 = 4096 − 2880 = 1216 = 64×19, donc √Δ = 8√19 ≈ 34,87. Racines : x = (64 ± 8√19)/6, soit x₁ = (32 − 4√19)/3 ≈ 4,85 et x₂ = (32 + 4√19)/3 ≈ 16,48, hors domaine.
Signe. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines : V' > 0 sur ]0 ; x₁[, V' < 0 sur ]x₁ ; 12[. V croît puis décroît, le maximum est en x₁ ≈ 4,85 cm.
Valeur. V(4,85) ≈ 4,85 × 30,29 × 14,29 ≈ 2 101 cm³, soit environ 85 cm³ de plus que la proposition du stagiaire.
L'argument du stagiaire est invalide. « La base est la plus grande, donc le volume est maximal » suppose qu'un seul facteur varie : ici les trois facteurs évoluent en sens opposés, et une base plus grande s'obtient au prix d'une hauteur plus faible. Seule l'étude du signe de la dérivée tranche.
2. Le réglage est obligatoirement un multiple de 0,5 cm. Quelle valeur retenir compte tenu de la contrainte de volume (≥ 2 000 cm³) et du seuil de 3 % exigé pour financer le changement d'outillage ? Le stagiaire avait-il raison de proposer 6,0 cm ?
Read the worked answer
Balayage sur la grille.
- V(4,0) = 4 × 32 × 16 = 2 048 cm³
- V(4,5) = 4,5 × 31 × 15 = 2 092,5 cm³
- V(5,0) = 5 × 30 × 14 = 2 100 cm³
- V(5,5) = 5,5 × 29 × 13 = 2 073,5 cm³
- V(6,0) = 6 × 28 × 12 = 2 016 cm³
- V(6,5) = 6,5 × 27 × 11 = 1 930,5 cm³ → recalé sous le seuil qualité
Meilleur réglage admissible. x = 5,0 cm, avec 2 100 cm³ : c'est à 1 cm³ du maximum théorique (2 101 cm³). Tous les réglages de 4,0 à 6,0 cm respectent les 2 000 cm³.
Test du seuil économique. Gain par rapport au réglage actuel : (2 100 − 2 016)/2 016 = 84/2 016 = 4,17 %, soit plus que les 3 % exigés. Le changement d'outillage est donc justifié.
Verdict sur le stagiaire. Sa valeur respecte la qualité mais n'est pas optimale ; son intuition n'est pas absurde pour autant, puisqu'il ne perd que 4 % de volume. La décision correcte reste de passer à 5,0 cm : on gagne de la matière sans dégrader la tenue mécanique (rabats plus hauts de 1 cm, ce qui rigidifie la boîte), et le surcoût est couvert.
3. Un candidat écrit : « comme x < 12, le volume est maximal quand x est le plus grand possible, donc x = 12 ». Expliquer en deux arguments distincts pourquoi ce raisonnement est faux, et préciser ce que vaut V quand x tend vers 12.
Read the worked answer
Premier argument - le signe de la dérivée. V' change de signe en x₁ ≈ 4,85 : la fonction croît puis décroît. « Prendre x le plus grand possible » ne maximise une fonction que si celle-ci est croissante sur tout l'intervalle, ce qui est faux ici. La borne 12 est même la pire valeur possible.
Second argument - lecture géométrique. Quand x → 12⁻, la largeur 24 − 2x → 0 : les deux rabats se rejoignent, la boîte s'aplatit en une simple feuille pliée et son volume tend vers zéro. V(12) = 12 × 16 × 0 = 0. Une découpe maximale détruit la boîte au lieu de l'agrandir.
Valeurs aux bornes. V(x) → 0 quand x → 0⁺ (hauteur nulle) et quand x → 12⁻ (largeur nulle). V est continue sur [0 ; 12], donc son maximum est atteint à l'intérieur : x ≈ 4,85 cm pour 2 101 cm³.
Méthode transférable. Sur tout problème d'optimisation avec contrainte géométrique : (1) écrire le domaine ouvert réel, (2) étudier le signe de la dérivée, (3) comparer aux bornes si l'intervalle est fermé. Sauter l'étape (2) conduit ici à une erreur de 100 % sur le résultat.