Concours Puissance Alpha flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Dérivée de ln x

Sur l'intervalle ]0 ; +∞[, la fonction ln a pour dérivée 1/x. Cette formule sert à dériver les logarithmes composés : (ln u)' = u'/u, valable lorsque u est strictement positive.

Discriminant d'un trinôme

Pour ax² + bx + c, le discriminant vaut Δ = b² − 4ac. Il détermine le nombre de racines réelles : deux si Δ > 0, une double si Δ = 0, aucune si Δ < 0.

Somme des termes d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, la somme des n premiers termes vaut u₀(1 − qⁿ)/(1 − q). Si q = 1, la somme vaut n·u₀.

Espérance d'une loi binomiale

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = np et V(X) = np(1 − p). L'espérance représente le nombre moyen de succès sur un grand nombre d'expériences.

Limite de sin x sur x

Quand x tend vers 0, le quotient sin x / x tend vers 1. Cette limite fondamentale permet de calculer des dérivées de fonctions trigonométriques et de lever des indéterminations.

Produit scalaire et orthogonalité

Dans le plan, u⃗·v⃗ = x·x' + y·y' = ‖u⃗‖‖v⃗‖cos θ. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un système de masse m est égale au produit m·a⃗, où a⃗ est l'accélération du centre de masse.

Constante de temps d'un circuit RC

Pour un condensateur de capacité C chargé à travers une résistance R, la constante de temps vaut τ = RC. Au bout d'environ 5τ, le régime permanent est pratiquement atteint.

Relation vitesse-longueur d'onde

Pour toute onde périodique, la vitesse de propagation v est égale au produit de la longueur d'onde λ par la fréquence f : v = λ·f = λ/T, où T est la période.

Énergie d'un photon

L'énergie d'un photon vaut E = hν = hc/λ, où h est la constante de Planck et ν la fréquence. Elle est d'autant plus grande que la longueur d'onde est courte.

Définition du pH

Le pH d'une solution aqueuse vaut −log[H₃O⁺], la concentration étant exprimée en mol·L⁻¹. Réciproquement, [H₃O⁺] = 10^(−pH). Une baisse d'une unité de pH multiplie l'acidité par dix.

Conservation de l'énergie mécanique

En l'absence de frottement, l'énergie mécanique Eₘ = ½mv² + E_p d'un système reste constante. Les frottements convertissent une partie de cette énergie en énergie thermique.

Loi d'Ohm

Aux bornes d'un conducteur ohmique, la tension U est proportionnelle à l'intensité I : U = RI, où R est la résistance exprimée en ohms. Cette loi ne s'applique pas aux dipôles non linéaires.

Rendement d'un convertisseur

Le rendement est le rapport de la puissance utile à la puissance absorbée : η = P_utile/P_absorbée. Il est toujours inférieur à 1 car une partie de l'énergie est dissipée.

Rapport de réduction d'engrenages

Pour deux roues dentées de nombres de dents Z₁ (menante) et Z₂ (menée), le rapport de réduction est r = ω₂/ω₁ = Z₁/Z₂. La vitesse diminue et le couple augmente.

Relation vitesse angulaire linéaire

Pour un point situé à la distance R de l'axe de rotation, la vitesse linéaire vaut v = R·ω, avec ω en rad·s⁻¹. Cette relation relie mouvement de rotation et mouvement de translation.

Chaîne d'information

La chaîne d'information décrit la partie commande d'un système : acquérir des grandeurs, les traiter, puis communiquer les ordres. Elle s'oppose à la chaîne d'énergie qui réalise l'action.

Théorème de De Morgan

Le complément du produit logique A·B est la somme des compléments non A + non B. Symétriquement, le complément de A + B vaut non A · non B. Ces égalités permettent de simplifier des circuits logiques.

Système asservi

Un asservissement compare en permanence la consigne et la mesure pour calculer un écart, que le régulateur corrige. Il maintient la sortie proche de la consigne malgré les perturbations extérieures.

Accord du participe passé avec avoir

Avec l'auxiliaire avoir, le participe passé ne s'accorde jamais avec le sujet. Il s'accorde avec le complément d'objet direct uniquement lorsque celui-ci est placé avant le verbe.

Emploi du subjonctif

Le subjonctif s'impose après des expressions comme bien que, pour que, avant que ou il faut que. Il exprime le souhait, l'obligation, le doute ou la concession, pas un fait constaté.

Connecteur de concession

Un connecteur de concession comme bien que, quoique ou même si introduit une idée qui semble contredire la thèse principale sans l'annuler. Il se distingue de l'opposition marquée par mais.

Registre polémique

Le registre polémique vise à combattre une opinion en la discréditant. Il emploie l'attaque directe, l'ironie, l'indignation et l'interpellation de l'adversaire, souvent dans un texte argumentatif engagé.

Métonymie

La métonymie remplace un terme par un autre qui lui est lié par une relation logique : la cause pour l'effet, le contenant pour le contenu, la partie pour le tout.

Present perfect vs past simple

Le present perfect (have + participe passé) relie une action passée au présent, sans date précise. Le past simple situe l'action dans un passé révolu, souvent avec une date explicite.

Third conditional

Le conditionnel passé se forme avec if + had + participe passé, suivi de would have + participe passé. Il exprime une condition irréelle dans le passé, dont la conséquence n'a pas eu lieu.

Must et don't have to

Must exprime une obligation forte, et mustn't une interdiction. Don't have to signifie au contraire l'absence d'obligation : l'action est facultative, ce qui est un piège fréquent.

Comparatif des adjectifs longs

Les adjectifs d'une syllabe prennent -er (bigger, faster), tandis que les adjectifs longs sont précédés de more (more efficient). Le superlatif correspondant utilise the most ou -est.

Faux ami actually

En anglais, actually signifie en fait ou en réalité, et non actuellement. Le mot français actuellement se traduit par currently ou at present, ce qui évite un contresens fréquent en traduction.

Contraposée d'une implication

L'implication A ⇒ B est équivalente à sa contraposée non B ⇒ non A. En revanche, la réciproque B ⇒ A n'est pas équivalente : elle peut être fausse alors que l'implication initiale est vraie.

Démonstration par récurrence

On vérifie la propriété au rang initial, puis on suppose qu'elle est vraie au rang n pour démontrer qu'elle l'est au rang n + 1. Ces deux étapes établissent la propriété pour tous les rangs suivants.

Combinaisons et arrangements

L'arrangement A(n,p) = n!/(n−p)! compte les tirages ordonnés sans remise. La combinaison C(n,p) = n!/(p!(n−p)!) compte les tirages non ordonnés ; elle est toujours inférieure à l'arrangement correspondant.