Lot de condensateurs : faut-il refuser la livraison ?
Un lycée a reçu un lot de 200 condensateurs marqués « 47 µF, tolérance ± 20 % ». Un groupe de spécialité décide de vérifier la valeur par une mesure de décharge RC. Protocole : un condensateur est chargé sous U₀ = 6,00 V, puis déchargé à travers une résistance R = 47 kΩ (précision 5 %) ; un central d'acquisition relève la tension toutes les 0,1 s.
À t = 2,0 s, la tension mesurée vaut U = 2,21 V (incertitude de lecture ± 0,01 V). Le voltmètre employé a une résistance d'entrée de 10 MΩ.
Deux avis s'opposent. Léa veut faire renvoyer le lot : « 47 µF annoncés, on trouve bien moins, le fabricant nous trompe ». Karim répond que c'est la faute du voltmètre : « il débite du courant, donc la décharge est plus rapide ; c'est l'appareil qui fausse tout ». Le professeur exige une conclusion chiffrée avant la fin de la séance, et refuse tout argument non calculé.
1. Estimer la constante de temps τ puis la capacité C à partir du point (t = 2,0 s ; U = 2,21 V). Le lot doit-il être refusé ? Justifier à l'aide des tolérances et d'un ordre de grandeur d'incertitude.
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Loi de décharge. U(t) = U₀ e^(−t/τ), donc τ = t / ln(U₀/U).
Calcul. U₀/U = 6,00/2,21 = 2,715 ; ln(2,715) = 0,9988. D'où τ = 2,0/0,9988 = 2,00 s.
Capacité. C = τ/R = 2,002/47 000 = 4,26 × 10⁻⁵ F ≈ 42,6 µF.
Comparaison à la tolérance. ± 20 % sur 47 µF définit une plage acceptée de 37,6 à 56,4 µF. 42,6 µF est à l'intérieur : le lot ne doit pas être refusé.
Incertitudes. Sur t : ± 0,05 s sur 2,0 s → 2,5 %. Sur U : ± 0,01 V sur 2,21 V → 0,45 %, soit 0,45 % sur ln(U₀/U). Sur R : 5 %. Composées quadratiquement : √(2,5² + 0,45² + 5²) ≈ 5,6 %, soit C = 42,6 ± 2,4 µF, intervalle 40,2–45,0 µF, toujours dans la plage constructeur.
Conclusion. Léa compare la mesure à la valeur nominale comme si celle-ci était exacte. Une spécification est une plage : un écart de 9 % sur la valeur centrale est parfaitement conforme, et il est même attendu que la moyenne d'un lot se situe au voisinage du nominal, pas exactement dessus.
2. Calculer l'instant auquel la tension atteint 1,00 V. L'échantillonnage à 0,1 s permet-il de dater ce passage à mieux que 2 % ?
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Instant cherché. 1,00 = 6,00 e^(−t/τ) ⟹ t = τ ln 6 = 2,002 × 1,7918 = 3,59 s.
Résolution de la datation. Le franchissement est connu à ± 0,05 s (un demi-pas). Incertitude relative : 0,05/3,59 = 1,4 %, donc inférieure à la limite de 2 % : l'échantillonnage suffit.
Piège à éviter. Il ne faut pas prendre « la première valeur inférieure à 1,00 V » sans interpoler. Autour de 1 V, dU/dt = −U/τ = −0,50 V/s, soit 0,050 V par pas : une lecture brute décalerait l'instant de 0,1 s, soit 2,8 %, au-delà de la tolérance demandée. Une interpolation linéaire entre les deux points encadrants ramène l'erreur sous 0,05 s.
Test de cohérence du modèle. En réinjectant τ = 2,00 s et U₀ = 6,00 V, on retrouve U(2,0 s) = 6,00 e^(−1,00) = 2,21 V, exactement le point mesuré. Deux points indépendants sont donc compatibles avec une même exponentielle : le modèle de décharge est validé.
Conclusion. t(1,00 V) ≈ 3,6 s, daté à 1,4 % près avec le matériel disponible.
3. Évaluer quantitativement l'hypothèse de Karim sur la résistance d'entrée du voltmètre. Quelle valeur de résistance parallèle faudrait-il pour expliquer l'écart observé ?
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Effet réel du voltmètre. Pendant la décharge, le voltmètre est en parallèle sur R : R_eq = (47 kΩ × 10 MΩ)/(47 kΩ + 10 MΩ) = 46,8 kΩ, soit − 0,47 % sur R. Avec C = 47 µF, la constante de temps passerait de 2,209 s à 2,199 s et U(2,0 s) de 2,43 V à 2,42 V : un écart de 0,4 %, très inférieur à l'incertitude de mesure. Karim a raison sur le principe, tort d'un facteur cent sur l'ordre de grandeur.
Ce qu'il faudrait pour expliquer l'écart. Si C valait réellement 47 µF avec τ = 2,00 s, il faudrait R_eq = τ/C = 2,002/47 × 10⁻⁶ = 42,6 kΩ. Or 1/R_eq = 1/R + 1/R_V, donc 1/R_V = 1/42 600 − 1/47 000 = 2,20 × 10⁻⁶ S, soit R_V ≈ 456 kΩ. Un voltmètre de 10 MΩ est environ vingt fois trop résistif pour produire cet effet.
Conclusion. Ni le rejet du lot ni l'explication par l'appareil ne tiennent : la capacité mesurée est simplement dans le bas de la plage de tolérance, ce qui est le comportement normal d'un composant à ± 20 %. Pour resserrer l'incertitude, il faudrait mesurer R à l'ohmmètre étalonné (le 5 % du marquage domine le bilan) et non changer de voltmètre.