Barrière automatique : le motoréducteur est-il dimensionné ?
Une petite société d'automatisme équipe un parking de 40 places d'une barrière levante. Le bras est un tube d'aluminium homogène de masse 2,5 kg et de longueur 1,2 m, articulé à une extrémité autour d'un axe horizontal. Le motoréducteur retenu possède un réducteur de rapport 50 : le couple nominal du moteur, 0,12 N·m, est multiplié par 50 à l'arbre de sortie, directement accouplé au bras. Le moteur tourne au plus à 3 000 tr/min.
Cahier des charges : le bras doit passer de l'horizontale à la verticale en 1,5 s au maximum. Sur le premier prototype, le moteur cale dès que le bras quitte l'horizontale.
Le technicien propose deux pistes : « il suffit de passer le réducteur à 100 » ou « on met un contrepoids de 1 kg à 0,8 m de l'axe ». La direction veut un chiffre avant de commander quoi que ce soit, avec une marge de 30 % sur le couple. On néglige les frottements dans un premier temps.
1. Calculer le couple nécessaire à l'arbre de sortie pour maintenir le bras à l'horizontale, puis conclure sur la capacité du motoréducteur actuel.
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Couple de pesanteur. Le poids s'applique au centre de gravité, à L/2 = 0,60 m de l'axe. À l'horizontale, le bras de levier est maximal : C = m g L/2 = 2,5 × 9,81 × 0,60 = 14,7 N·m.
Couple disponible. C_sortie = 50 × 0,12 = 6,0 N·m.
Comparaison. 6,0 < 14,7 : le rapport est de 2,45. Le moteur ne peut pas décoller le bras de l'horizontale, ce qui explique exactement le calage observé. Le couple requis décroît ensuite comme cos θ (θ mesuré depuis l'horizontale) : encore 10,4 N·m à 45°, 7,4 N·m à 60° - toujours au-dessus de 6,0 N·m jusqu'à 66°.
Vérification de la vitesse. 90° = 1,571 rad en 1,5 s donne ω = 1,05 rad/s ≈ 10 tr/min à la sortie, soit 500 tr/min au moteur. Le moteur est très loin de ses 3 000 tr/min : la vitesse n'est pas le problème.
Diagnostic. Le dimensionnement est insuffisant en couple d'un facteur ≈ 2,5 ; c'est un problème de couple, pas de vitesse, et cela oriente le choix du remède : il faut réduire le couple résistant (contrepoids) ou augmenter le couple moteur, pas toucher à la vitesse.
2. Évaluer les deux propositions du technicien. Calculer la masse de contrepoids nécessaire pour respecter la marge de 30 %.
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Proposition « réducteur 100 ». Le couple de sortie passerait à 12 N·m, toujours inférieur à 14,7 N·m : le moteur calerait encore. Et la vitesse de sortie serait divisée par deux (5 tr/min), soit environ 3 s pour 90° : le cahier des charges (1,5 s) serait violé. Proposition rejetée sur les deux critères à la fois.
Proposition « contrepoids de 1 kg à 0,8 m ». Il apporte 1 × 9,81 × 0,8 = 7,85 N·m ; il reste 14,7 − 7,85 = 6,9 N·m > 6,0 N·m : insuffisant, et sans aucune marge.
Dimensionnement avec marge de 30 %. On veut C_résiduel ≤ 6,0/1,3 = 4,62 N·m, donc le contrepoids doit fournir au moins 14,7 − 4,62 = 10,1 N·m. À 0,8 m : m_c ≥ 10,1/(9,81 × 0,8) = 1,29 kg. On retient 1,3 kg, ce qui laisse un couple résiduel de 14,7 − 10,2 = 4,5 N·m, soit une marge de 1,33.
Point clé souvent manqué. Le bras et le contrepoids tournent autour du même axe : leurs deux couples varient en cos θ et s'annulent donc partiellement de la même façon à tout angle. Le dimensionnement fait à l'horizontale, cas le plus défavorable, reste valable sur toute la course - inutile de refaire le calcul à 45°.
3. Vérifier la puissance et l'énergie : avec le contrepoids de 1,3 kg, le motoréducteur actuel tient-il la cadence de 1,5 s ? Conclure sur la solution à commander.
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Énergie à fournir. Travail utile = variation d'énergie potentielle du système bras + contrepoids : ΔE = (m L/2 − m_c d) g = (2,5 × 0,60 − 1,3 × 0,80) × 9,81 = (1,50 − 1,04) × 9,81 = 4,5 J.
Puissance. 4,5 J en 1,5 s → 3,0 W en moyenne, à comparer à la puissance nominale disponible en sortie : C ω = 6,0 × 1,05 = 6,3 W (soit 0,12 × 52,4 rad/s au moteur). La puissance est suffisante, avec un facteur 2 pour les frottements et la mise en vitesse.
Tenue en accélération. Le travail moteur sur 90° vaut 6,0 × 1,571 = 9,4 J ; 4,5 J passent en énergie potentielle, le reste (4,9 J) en énergie cinétique. Avec J = m L²/3 + m_c d² = 1,20 + 0,83 = 2,03 kg·m², on atteint ω ≈ √(2 × 4,9/2,03) = 2,2 rad/s en haut de course. L'accélération moyenne vaut (6,0 − 2,9)/2,03 ≈ 1,5 rad/s², d'où une durée de l'ordre de 1,4 s : la cadence est tenue, mais la marge est mince.
Recommandation. Contrepoids de 1,3 kg + variateur avec rampe de vitesse (pour éviter le pic de courant au démarrage) ; conserver le réducteur 50, car le passage à 100 casserait la cadence sans résoudre le couple. Si les frottements réels dépassent 1 N·m, passer au moteur 0,15 N·m plutôt que d'alourdir encore le contrepoids, qui augmente l'inertie.